Линейные дифференциальные уравнения (стр. 6 из 11)

Интересно выяснить явный вид множества n линейно независимых векторов-решений системы (5.1). Пусть Т – постоянная неособая матрица, такая что матрица Т^-1RТ = J имеет каноническую форму, указанную в теореме 1.1, и положим Ф₁ = ФТ, Р₁ = РТ. Тогда из (5.3) следует

Ф₁(t) = Р₁(t) е^tJ, Р₁(t+ω) = Р₁(t). (5.9)

Поэтому, если ρ_i– характеристические корни R, то матрица е^tJимеет вид

где

и

(i = 1, …, s; q+ = n).

Очевидно, что λ_i= е^ωρi, и поэтому, хотя сами корни ρ_iопределяются неоднозначно, но их действительные части определяются однозначно. Из (5.9) следует, что столбцы φ₁ , φ₂ , …, φ_nматрицы Ф₁, которые образуют множество n линейно независимых решений системы (5.1), имеют вид:

,

,

,

,

, (5.10)

,

,

.

В этих формулах р₁ , р₂ , …, р_n- периодические векторы-столбцы матрицы Р₁.

Из (5.10) очевидно, что если Reρ_i< 0 или, что эквивалентно, | λ_i | < 1, то при

решения φ_i(t) экспоненциально убывают.

Из (5.6) следует, что Ф(ω) = Ф(0)е^ωR, и поэтому λ_iможно рассматривать как характеристические корни матрицыФ^-1(0)Ф(ω). В частности, если Ф(0) = Е, то е^ωR= Ф(ω) и λ_i являются характеристическими корнями матрицы Ф(ω). Так как

(5.11)

то n-й корень можно определить из (5.11), если известны n-1 корней λ_i.

Действительная неособая матрица С не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица В, такая что е^В = С. В самом деле, матрица с одной строкой и одним столбцом С = -1 доставляет соответствующий пример. Однако справедливо утверждение, что для действительной матрицы С существует действительная матрица В, такая, что С² = е^В .

Используя это при доказательстве теоремы 5.1, нетрудно получить следующий результат6 если в системе (5.1) матрица А (t) действительная периодическая с периодом ω, то каждой действительной фундаментальной матрице Ф соответствует действительная матрица Р периода 2ω и действительная постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = Р(t)е^tR.

2. Линейные дифференциальные уравнения

2.1 Линейные дифференциальные уравнения порядка n

Предположим, что n+1 коэффициентов а₀, а₁, …, а_nпредставляют собой непрерывные (комплексные) функции, определенные на действительном t-интервале I, и пусть L_n обозначает формальный дифференциальный оператор

;

это означает, что если функция g имеет n производных на I, то

Далее предположим, что а₀(t)

0 для . Тогда, по определению, уравнение

(в подробной записи

( )) есть дифференциальное уравнение

;

оно называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система есть векторное уравнение

(6.1)

где

(6.2)

Так как (6.1) – линейная система с непрерывной на I матрицей коэффициентов А, то существует единственный вектор-решение φ на I системы (6.1), удовлетворяющий условию

где

, |ξ| < . Таким образом, φ₁ – первая компонента - удовлетворяет условиям

…, (6.3)

Так как φ₁ – решение уравнения

, то это решение удовлетворяет условиям (6.3).

Применим теперь остальные результаты, полученные ранее для линейных систем, к уравнению

.

Если φ₁, …, φ_n– n решений уравнения

, то матрица

(6.4)

есть матрица-решение для (6.1). Определитель этой матрицы называется вронскианом уравнения

, соответствующим решениям φ₁, …, φ_n, и обозначается через W(φ₁, …, φ_n). При фиксированных φ₁, …, φ_n он является функцией t на I и его значение в точке t обозначается W(φ₁, …, φ_n)(t). Из того, что для линейной системы вида (6.1)

,

следует (замечая из (6.2), что spA = - а₁/а₀)

W(φ₁, …, φ_n)(t) = W(φ₁, …, φ_n)(τ)

. (6.5)

Теорема 6.1. Необходимое и достаточное условие того, чтобы n решений φ₁, …, φ_n уравнения

на интервале I были линейно независимы, заключается в том, что

W(φ₁, …, φ_n)

0 .

Каждое решение уравнения

есть линейная комбинация с комплексными коэффициентами любых nлинейно независимых решений.

Доказательство. Если решения φ₁, …, φ_nна I линейно зависимы. То существуют постоянные с₁, …, с_n, не все равные нулю, такие, что

Отсюда следует тождество

(k = 0, 1, …, n-1),

и поэтому векторы

с компонентами (i = 1, 2, …, n) линейно зависимы на I. Наоборот, если векторы линейно зависимы, то тем же свойством обладают решения φ₁, …, φ_nуравнения . Из теоремы 2.2 следует, что необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов заключается в том, что det Ф(t) 0 на I, где Ф – матрица (6.4). Но это требование в точности совпадает с условием W(φ₁, …, φ_n)(t) 0 на I. В силу (6.5), если W(φ₁, …, φ_n)(τ) 0 для некоторого , то W(φ₁, …, φ_n)(t) 0 для любого .