Теория информации (стр. 18 из 29)
Если на каждые m символов выходной последовательности кодера канала приходится k информационных и (m-k) проверочных, то относительная избыточность кода может быть выражена одним из соотношений: Rm = (m-k)/mили Rk= (m-k)/k.
Величина Rk, изменяющаяся от 0 до ¥, предпочтительнее, так как лучше отвечает смыслу понятия избыточности. Коды, обеспечивающие заданную корректирующую способность при минимально возможной избыточности, называют оптимальными.
В связи с нахождением оптимальных кодов оценим, например, возможное наибольшее число Q разрешенных комбинаций m-значного двоичного кода, обладающего способностью исправлять взаимно независимые ошибки кратности до s включительно. Это равносильно отысканию числа комбинаций, кодовое расстояние между которыми не менее d=2s+1.
Общее число различных исправляемых ошибок для каждой разрешающей комбинации составляет
,где Cmi – число ошибок кратности i.
Каждая из таких ошибок должна приводить к запрещенной комбинации, относящейся к подмножеству данной разрешенной комбинации. Совместно с этой комбинацией подмножество включает комбинаций.
1+
Однозначное декодирование возможно только в том случае, когда названные подмножества не пересекаются. Так как общее число различных комбинаций m-значного двоичного кода составляет 2m, число разрешенных комбинаций не может превышать
Или
.Эта верхняя оценка найдена Хэммингом. Для некоторых конкретных значений кодового расстояния d, соответствующие Q укажем в таблице:
Таблица 4.3.
| d | Q | d | Q |
| 1 |  | 5 |  |
| 2 |  | … | ... |
| 3 |  | … | ... |
| 4 |  | ... |  |
Коды, для которых в приведенном соотношении достигается равенство, называют также плотноупакованными.
Однако не всегда целесообразно стремиться к использованию кодов, близких к оптимальным. Необходимо учитывать другой, не менее важный показатель качества корректирующего кода – сложность технической реализации процессов кодирования и декодирования.
Если информация должна передаваться по медленно действующей и дорогостоящей линии связи, а кодирующее и декодирующее устройства предполагается выполнить на высоконадежных и быстродействующих элементах, то сложность этих устройств не играет существенной роли. Решающим фактором в этом случае является повышение эффективности пользования линией связи, поэтому желательно применение корректирующих кодов с минимальной избыточностью.
Если же корректирующий код должен быть применен в системе, выполненной на элементах, надежность и быстродействие которых равны или близки надежности и быстродействию элементов кодирующей и декодирующей аппаратуры. Это возможно, например, для повышения достоверности воспроизведения информации с запоминающего устройства ЭВМ. Тогда критерием качества корректирующего кода является надежность системы в целом, то есть с учетом возможных искажений и отказов в устройствах кодирования и декодирования. В этом случае часто более целесообразны коды с большей избыточностью, но простые в технической реализации.
4.5 Линейные коды
Самый большой класс разделимых кодов составляют линейные коды, у которых значения проверочных символов определяются в результате проведения линейных операций над определенными информационными символами. Для случая двоичных кодов каждый проверочный символ выбирают таким образом, чтобы его сумма с определенными информационными символами была равна 0. Символ проверочной позиции имеет значение 1, если число единиц информационных разрядов, входящих в данное проверочное равенство, нечетно, и 0, если оно четно. Число проверочных равенств (а следовательно, и число проверочных символов) и номера конкретных информационных разрядов, входящих в каждое из равенств, определяется тем, какие и сколько ошибок должен исправлять или обнаруживать данный код. Проверочные символы могут располагаться на любом месте кодовой комбинации. При декодировании определяется справедливость проверочных равенств. В случае двоичных кодов такое определение сводится к проверкам на четность числа единиц среди символов, входящих в каждое из равенств (включая проверочные). Совокупность проверок дает информацию о том, имеется ли ошибка, а в случае необходимости и о том, на каких позициях символы искажены.
Любой двоичный линейный код является групповым, так как совокупность входящих в него кодовых комбинаций образует группу. Уточнение понятий линейного и группового кода требует ознакомления с основами линейной алгебры.
4.6 Математическое введение к линейным кодам
Основой математического описания линейных кодов является линейная алгебра (теория векторных пространств, теория матриц, теория групп). Кодовые комбинации рассматривают как элементы множества, например, кодовые комбинации двоичного кода принадлежат множеству положительных двоичных чисел.
Множества, для которых определены некоторые алгебраические операции, называют алгебраическими системами. Под алгебраической операцией понимают однозначные сопоставление двум элементам некоторого третьего элемента по определенным правилам. Обычно основную операцию называют сложением (обозначают a+b=c) или умножением (обозначают a*b=c), а обратную ей – вычитаниемили делением, даже, если эти операции проводятся не над числами и не идентичны соответствующим арифметическим операциям.
Рассмотрим кратко основные алгебраические системы, которые широко используют в теории корректирующих кодов.
Группой множество элементов, в котором определена одна основная операция и выполняются следующие аксиомы:
1. В результате применения операции к любым двум элементам группы образуется элемент этой же группы (требование замкнутости).
2. Для любых трех элементов группы a,b,c удовлетворяется равенство (a+b)+c=a+(b+c), если основная операция – сложение, и равенство a(bc)=(ab)c, если основная операция – умножение.
3. В любой группе Gn существует однозначно определенный элемент, удовлетворяющий при всех значениях a из Gn условию а+0=0+а, если основная операция – сложение, или условию а*1=1*а=а, если основная операция – умножение. В первом случае этот элемент называют нулем и обозначают символом 0, а во втором – единицей и обозначают символом 1.
4. Всякий элемент а группы обладает элементом, однозначно определенным уравнением а+(-а)=-а+а=0, если основная операция – сложение, или уравнением а*а-1= а-1*а=1, если основная операция – умножение.
В первом случае этот элемент называют противоположным и обозначают (-а), а во втором – обратным и обозначают а-1.
Если операция, определенная в группе, коммутативна, то есть справедливо равенство a+b=b+a (для группы по сложению) или равенство a*b=b*a (для группы по умножению), то группу называют коммутативной или абелевой.
Группу, состоящую из конечного числа элементов, называют порядком группы.
Чтобы рассматриваемое нами множество n-разрядных кодовых комбинаций было конечной группой, при выполнении основной операции число разрядов в результирующей кодовой комбинации не должно увеличиваться. Этому условию удовлетворяет операция символического поразрядного сложения по заданному модулю q (q – простое число), при которой цифры одинаковых разрядов элементов группы складываются обычным порядком, а результатом сложения считается остаток от деления полученного числа по модулю q.
При рассмотрении двоичных кодов используется операция сложения по модулю 2. Результатом сложения цифр данного разряда является0, если сумма единиц в нем четная, и 1, если сумма единиц в нем нечетная, например,
Å
Выбранная нами операция коммутативна, поэтому рассматриваемые группы будут абелевыми.
Нулевым элементом является комбинация, состоящая из одних нулей. Противоположным элементом при сложении по модулю 2 будет сам заданный элемент. Следовательно, операция вычитания по модулю 2 тождественна операции сложения.
Пример24. Определить, являются ли группами следующие множества кодовых комбинаций:
1) 0001, 0110, 0111, 0011;
2) 0000, 1101, 1110, 0111;
3) 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Решение: Первое множество не является группой, так как не содержит нулевого элемента.
Второе множество не является группой, так как не выполняется условие замкнутости, например, сумма по модулю 2 комбинаций 1101 и 1110 дает комбинацию 0011, не принадлежащую исходному множеству.
Третье множество удовлетворяет всем перечисленным условиям и является группой.
Подмножества группы, являющиеся сами по себе группами относительно операции, определенной в группе, называют подгруппами. Например, подмножество трехразрядных кодовых комбинаций: 000, 001, 010, 011 образуют подгруппу указанной в примере группы трехразрядных кодовых комбинаций.