Теория информации (стр. 26 из 29)

Полученный циклический код с проверкой на четность способен обнаруживать не только одиночные ошибки в отдельных разрядах, но и ошибки в любом нечетном числе разрядов.

4.10.2 Исправление одиночных или обнаружение двойных ошибок

Прежде чем исправить одиночную ошибку в принятой комбинации из п разрядов, необходимо определить, какой из разрядов был искажен. Это можно сделать только в том случае, если каждой одиночной ошибке в определенном разряде соответствуют свой класс вычетов и свой опознаватель. Так как в циклическом коде опознавателями ошибок являются остатки от деления многочленов ошибок на образующий многочлен кода g(x), то g(x) должно обеспечить требуемое число различных остатков при делении векторов ошибок с единицей в искаженном разряде. Как отмечалось, наибольшее число остатков дает неприводимый многочлен. При степени многочлена m = n-kон может дать 2^n-k - 1 ненулевых остатков (нулевой остаток является опознавателем безошибочной передачи).

Следовательно, необходимым условием исправления любой одиночной ошибки является выполнение неравенства

2^n-k- 1³

= n,

где

- общее число разновидностей одиночных ошибок в кодовой комбинации из п символов; отсюда находим степень образующего многочлена кода

m = n – k³log₂(n+1)

и общее число символов в кодовой комбинации. Наибольшие значения kи п для различных m можно найти пользуясь табл. 4.13.

Таблица 4.13.

M	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N	1	3	7	15	31	63	127	255	511	1023
K	0	1	4	11	26	57	120	247	502	1013

Как указывалось, образующий многочлен g(x) должен быть делителем двучлена хⁿ+1. Доказано, что любой двучлен типа х^2m-1+ 1 = хⁿ+1может быть представлен произведением всех неприводимых многочленов, степени которых являются делителями числа т (от 1 до т включительно). Следовательно, для любого т существует по крайней мере один неприводимый многочлен степени т, входящий сомножителем в разложение двучлена хⁿ+1.

Пользуясь этим свойством, а также имеющимися в ряде книг таблицами многочленов, неприводимых при двоичных коэффициентах, выбрать образующий многочлен при известных n и m несложно. Определив образующий многочлен, необходимо убедиться в том, что он обеспечивает заданное число остатков.

Пример 35. Выберем образующий многочлен для случая n = 15 и m = 4.

Двучлен x¹⁵ + 1 можно записать в виде произведения всех неприводимых многочленов, степени которых являются делителями числа 4. Последнее делится на 1, 2, 4.

В таблице неприводимых многочленов находим один многочлен первой степени, а именно x+1, один многочлен второй степени x² + x + 1 и три многочлена четвертой степени: х⁴ + x + 1, х⁴ + х³ + 1, х⁴ + х³ + х² + х + 1. Перемножив все многочлены, убедимся в справедливости соотношения (х + 1)(х² + х + 1)(х⁴ + х+ 1)(х⁴ + х³+ 1)(х⁴ + х³ + х² + х + 1) = x¹⁵ + 1

Один из сомножителей четвертой степени может быть принят за образующий многочлен кода. Возьмем, например, многочлен х⁴ + х³ + 1, или в виде двоичной последовательности 11001.

Чтобы убедиться, что каждому вектору ошибки соответствует отличный от других остаток, необходимо поделить каждый из этих векторов на 11001.Векторы ошибок m младших разрядов имеют вид: 00…000, 00…0010, 00…0100, 00…1000.

Степени соответствующих им многочленов меньше степени образующего многочлена g(x). Поэтому они сами являются остатками при нулевой целой части. Остаток, соответствующий вектору ошибки в следующем старшем разряде, получаем при делении 00...10000 на 11001, т.е.

Аналогично могут быть найдены и остальные остатки. Однако их можно получить проще, деля на g(x) комбинацию в виде единицы с рядом нулей и выписывая все промежуточные остатки:

При последующем делении остатки повторяются.

Таким образом, мы убедились в том, что число различных остатков при выбранном g(x) равно п = 15, и, следовательно, код, образованный таким g(x), способен исправить любую одиночную ошибку. С тем же успехом за образующий многочлен кода мог быть принят и многочлен х⁴ + х + 1. При этом был бы получен код, эквивалентный выбранному.

Однако использовать для тех же целей многочлен х⁴ + х³ + x² + х + 1 нельзя. При проверке числа различных остатков обнаруживается, что их у него не 15, а только 5. Действительно,

Это объясняется тем, что многочлен x⁴ + х³ + х² + х + 1 входит в разложение не только двучлена x¹⁵+ 1, но и двучлена x⁵ + 1.

Из приведенного примера следует, что в качестве образующего следует выбирать такой неприводимый многочлен g(x) (или произведение таких многочленов), который, являясь делителем двучлена х^п + 1, не входит в разложение ни одного двучлена типа х^λ+ 1, степень которого λ меньше п. В этом случае говорят, что многочлен g(x) принадлежит показателю степени п.

В табл. 4.14 приведены основные характеристики некоторых кодов, способных исправлять одиночные ошибки или обнаруживать все одиночные и двойные ошибки.

Таблица 4.14.

Показатель неприводимого многочлена	Образующий многочлен	Число остатков	Длина кода
2334455	x2 + x + 1x3 + x + 1x3 + x2 + 1x4 + x3 + 1x4 + x + 1x5 + x2 + 1x5 + x3 + 1	37715153131	37715153131

Это циклические коды Хэмминга для исправления одной ошибки, в которых в отличие от групповых кодов Хэмминга все проверочные разряды размещаются в конце кодовой комбинации.

Эти коды могут быть использованы для обнаружения любых двойных ошибок. Многочлен, соответствующий вектору двойной ошибки, имеет вид ξ(х) = хⁱ – х^j, или ξ(x) = хⁱ(х^{j – i}+ 1) при j>i. Так как j – i<n, ag(x) не кратен х и принадлежит показателю степени п, то ξ(x) неделится на g(x), что и позволяет обнаружить двойные ошибки.

4.10.3 Обнаружение ошибок кратности три и ниже

Образующие многочлены кодов, способных обнаруживать одиночные, двойные и тройные ошибки, можно определить, базируясь на следующем указании Хэмминга. Если известен образующий многочлен р(х^т) кода длины п, позволяющего обнаруживать ошибки некоторой кратности z, то образующий многочлен g(x) кода, способного обнаруживать ошибки следующей кратности (z + 1), может быть получен умножением многочлена р(х^т) на многочлен х + 1, что соответствует введению дополнительной проверки на четность. При этом число символов в комбинациях кода за счет добавления еще одного проверочного символа увеличивается до n + l.

В табл. 4.15 приведены основные характеристики некоторых кодов, способных обнаруживать ошибки кратности три и менее.

Таблица 4.15.

Показатель неприводимого многочлена	Образующий многочлен	Число информационных символов	Длина кода
345	(x+1)(x3 + x + 1)(x+1)(x4+ x + 1)(x+1)(x5+ x + 1)	41126	81632

4.10.4 Обнаружение и исправление независимых ошибок произвольной кратности

Важнейшим классом кодов, используемых в каналах, где ошибки в последовательностях символов возникают независимо, являются коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема. Доказано, что для любых целых положительных чисел m и s<n/2 существует двоичный код этого класса длины п = 2^т-1 с числом проверочных символов не более ms, который способен обнаруживать ошибки кратности 2s или исправлять ошибки кратности s. Для понимания теоретических аспектов этих кодов необходимо ознакомиться с рядом новых понятий высшей алгебры.

4.10.5 Обнаружение и исправление пачек ошибок

Для произвольного линейного блокового (п, k)-кода, рассчитанного на исправление пакетов ошибок длины bили менее, основным соотношением, устанавливающим связь корректирующей способности с числом избыточных символов, является граница Рейджера: n – k³ 2b

При исправлении линейным кодом пакетов длины bили менее с одновременным обнаружением пакетов длины l³bили менее требуется по крайней мере b + l проверочных символов.

Из циклических кодов, предназначенных для исправления пакетов ошибок, широко известны коды Бартона, Файра и Рида-Соломона.

Первые две разновидности кодов служат для исправления одного пакета ошибок в блоке. Коды Рида-Соломона способны исправлять несколько пачек ошибок.

Особенности декодирования циклических кодов, исправляющих пакеты ошибок, рассмотрены далее на примере кодов Файра.

4.10.6 Методы образования циклического кода

Существует несколько различных способов кодирования. Принципиально наиболее просто комбинации циклического кода можно получить, умножая многочлены а(х), соответствующие комбинациям безызбыточного кода (информационным символам), на образующий многочлен кода g(x). Такой способ легко реализуется. Однако он имеет тот существенный недостаток, что получающиеся в результате умножения комбинации кода не содержат информационные символы в явном виде. После исправления ошибок такие комбинации для выделения информационных символов приходится делить на образующий многочлен кода.