Виховні функції спрямовані на формування пізнавального інтересу, самостійності, навичок навчальної праці, культури математичної мови, графічної культури.
Розвиваючі функції спрямовані на розвиток мислення в учнів, просторових уявлень, на оволодіння ними ефективними прийомами розумової діяльності.
Контролюючі функції спрямовані на встановлення рівня навчання, здібності до самостійного вивчення матеріалу, рівня математичного розвитку учнів і сформованості пізнавальних інтересів.
У зв'язку з великою кількістю видів математичних задач розглянемо існуючі їх класифікації. Зокрема, у методичній літературі можна знайти наступні класифікації [17, 116-117].
1. За кількістю невідомих у структурі задач. Ю.М.Колягін пропонує їх класифікувати на навчальні, пошукові та проблемні.
2. За характером об'єктів задачі поділяють на практичні та математичні.
3. За відношенням до теорії виділяють стандартні та нестандартні задачі. У ролі основної ознаки стандартних задач вказано наявність у курсі математики таких загальних правил і положень, що однозначно визначають програму розв'язання цих задач та виконання кожного кроку цієї програми (тобто мають свій алгоритм розв'язування). Нестандартні задачі - це такі, для яких у курсі математики не існує загальних правил або положень, що визначають точну програму їх розв'язання.
4. За функціями у процесі навчання розрізняють дидактичні, пізнавальні та розвиваючі задачі. Задачі з дидактичними функціями використовують для підготовки учнів до введення нового матеріалу, а також при його закріпленні: вони несуть функцію застосування теорії, що вивчається. Задачі з пізнавальними функціями мають за мету відпрацювати та поглибити основний зміст математичної дисципліни. Задачі з розвиваючими функціями – це ті, розв'язування яких потребує певних знань та вмінь, не передбачених програмою. Саме ці задачі спрямовані на розвиток мислення.
5. Задачі, що стимулюють навчально-пізнавальну діяльність; організують та здійснюють навчально-пізнавальну діяльність учнів; задачі, у процесі виконання яких здійснюється контроль та самоконтроль ефективності навчально-пізнавальної діяльності.
6. Задачі для початкової школи класифікують за змістом: задачі на рух, задачі на пропорційне ділення, на знаходження четвертого пропорційного.
7. За характером вимоги у початковому курсі математики виділяють задачі на обчислення, задачі на побудову, задачі текстові, задачі комбінованого характеру.
Наведені класифікації дозволяють ширше уявити собі проблеми, пов'язані з методикою навчання молодших школярів розв'язувати задачі, спрямовуючи цей процес на розвиток мислення.
Загалом задачі у початковому курсі математики класифікують на прості і складені [20, 28-29]. При цьому до простих належать 25 видів задач (на розкриття змісту арифметичних дій; на розкриття відношень між числами; задачі, що розкривають зв’язки між компонентами і результатами арифметичних дій; задачі на збільшення (або зменшення) числа на кілька одиниць (чи в кілька разів) та ін.).
Прості задачі часто використовуються початковому курсі математики і при ознайомленні учнів з іншими сюжетами задач у справі формування в дітей уявлень про величини, їх вимірювання, про зв’язки, які існують між такими величинами, як ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, число предметів і загальна маса; швидкість, час і пройдений шлях; довжина і ширина прямокутника та його площа; норма виробітку за одиницю часу, затрачений час і загальний виробіток, норма витрати яких-небудь матеріалів на один виріб, число виробів і загальна витрата матеріалів на них тощо. Такі задачі розглядаються в 1-4 класах поступово, в міру розширення кола величин, що вводяться у зв’язку з вивченням відповідних питань і на матеріалі інших вправ.
Аналогічно тому, як прості задачі використовуються для створення наочної опори при розгляді таких питань теорії, як, скажімо, зв’язок між компонентами і результатами дії, значна „група складених задач допомагає дітям усвідомити властивості розглядуваних дій” [36, 19]. Це задачі, що ілюструють властивості додавання і віднімання, що вивчаються в 1 класі, а також властивості множення й ділення, розглядувані в 2-4 класах.
У початковому курсі математики арифметичні задачі використовуються протягом усіх чотирьох років навчання. „Система їх розміщення, природно, збігається з логікою розгортання понять, що вводяться, ознайомлення з арифметичними діями і їх властивостями. Особливість задач, які для цього відбираються, максимальна їх простота” [37, 45]. Вони мають бути цілком зрозумілі, близькі дітям за сюжетом, просто викладені, без будь-яких незрозумілих, нових для дітей слів, які б потребували додаткових пояснень. Саме цій меті підпорядкована більша частина задач, широко представлених у програмі і в підручниках для кожного року навчання.
У структурному відношенні текстові задачі складаються з умови і вимоги. Умова і вимога задачі включають в себе дані (відомі, невідомі, шукані), їх числове значення і зв’язки між ними. У результаті встановлення взаємозв’язків між умовою й вимогою визначається оператор задачі – окрема дія (при розв’язуванні простих задач) або сукупність дій (при розв’язуванні складених) та їх обґрунтування.
Формування умінь розв’язувати складені задачі – одне із головних і складних завдань програми шкільного курсу математики в початкових класах. Складність цього завдання зумовлена багатьма факторами. Однак найбільш суттєвим є той, що в методиці навчання математики в початковій ланці освіти залишилися нереалізованими такі загальнодидактичні принципи, як-от: науковості, послідовності, систематичності, зв’язку теорії з практикою, індивідуального підходу та ін.
Так, ще Я.А.Коменський зазначав, що „міцно засвоюється лише те, що добре обґрунтовано” [40, 14]. Отже, розв’язання тієї чи іншої задачі має бути науково обґрунтованим. Для цього учні повинні знати найелементарнішу класифікацію задач і вміти визначити, до якого саме виду належить та чи інша задача.
Сам „процес розв'язування задач за певної методики позитивно впливає на розумовий розвиток школярів, оскільки він потребує виконання розумових операцій: аналізу і синтезу, конкретизації і абстрагування, порівняння, узагальнення” [44, 14]. Так, „під час розв'язування будь-якої задачі учень виконує аналіз: відокремлює запитання від умови, виділяє дані і шукані числа; складаючи план розв'язання, він виконує синтез, користуючись при цьому конкретизацією (в думці «малює» умову задачі), а потім абстрагуванням (абстрагуючись від конкретної ситуації, вибирає арифметичні дії)” [51, 74]; внаслідок багаторазового розв'язання задач певного виду учень узагальнює знання зв'язків між даними і шуканим, чим узагальнюється спосіб розв'язування задач цього виду.
У процесі дослідження конкретизовано мету і етапи розв’язування текстових задач (сприйняття і первинний аналіз тексту задачі; пошук і складання плану розв’язування; здійснення розв’язання; контроль і корекція), систему операцій, яка розкриває діяльність учня під час розв’язування задач.
Проаналізуємо поняття “вміння розв’язувати текстові задачі”. Під вмінням розуміємо „готовність і здатність учнів початкової школи самостійно і свідомо розв’язувати задачі” [52, 16]. В процесі навчання математики доцільно виділяти окремі й узагальнені вміння. До окремих вмінь відносять вміння розв’язувати задачі певного виду. Якщо учень переносить засвоєні дії на нові види задач, правильно і самостійно розв’язує текстові задачі широкого кола, то відповідні вміння є узагальненими. Кінцевим результатом навчання є узагальнені вміння. Загальне вміння розв’язувати текстову задачу утворює складний комплекс, що включає активне оперування математичними знаннями і відповідними вміннями й навичками, досвід у застосуванні знань і певну сукупність розумових дій, які необхідні для розв’язання.
Аналіз діяльності учнів початкових класів під час розв’язання текстових задач дозволив виявити структуру даного вміння. Остання включає „знання, специфічні для формування вмінь розв’язувати текстові задачі певного виду (наприклад, обґрунтовуючи знання) і знання, інваріантні для загального вміння (знання про текстову задачу, її склад та процес розв’язування)” [41, 82].
Психологічною основою формування вмінь розв’язувати текстові задачі є основні положення теорії поетапного формування розумових дій (О.М.Леонтьєв, П.Я.Гальперін, Н.Ф.Тализіна та ін.) у синтезі з основними положеннями асоціативно-рефлекторної теорії (Д.Н.Богоявленський, Є.Н.Кабанова-Меллер, Н.О.Менчинська та ін.).
Вчені-методисти виділяють такі загальні етапи формування вмінь розв’язувати текстові задачі (підготовчо-мотиваційний, ознайомлення, закріплення, вдосконалення, контролю і корекції знань і вмінь) [66, 39].
Аналіз досліджень з методики математики свідчить про те, що в проблемі навчання молодших школярів розв'язувати задачі є значні досягнення [14]. Так, з'ясовано можливість застосування алгебраїчного методу розв'язування задач, визначено основні напрями роботи у виробленні в учнів уміння загального підходу до розв'язування задач, виявлено доцільність опрацювання взаємно обернених задач, з'ясовано роль задач підвищеної трудності у навчанні і розвитку, уточнено класифікацію простих задач тощо. Проте є ще й нерозв'язані питання з проблеми використання математичних задач у початковій школі.
Дослідженнями вітчизняних психологів встановлено три основні типи активності учнів: репродуктивно-наслідувальний, пошуково-виконав-чий і творчий [5; 11; 40]. Кожний із зазначених типів активності виявляється і розвивається в школярів під час роботи над задачею. Так, перший тип активності, що виявляється під час засвоєння учнями предметних дій і мовних форм, дає їм змогу успішно засвоїти дії співвіднесення та вибору і виділяти в змісті навчального матеріалу раніше вивчені та нові поняття. Другий тип активності виявляється в тому, що учні можуть самостійно аналізувати зміст задачі, встановлювати зв'язок між відомими і невідомими величинами. Основним виявом третього типу активності є уміння учнів самостійно аналізувати задачу і оригінальним способом її розв'язувати.