Кроме того, по Стивенсу, осмысленным высказыванием является такое, в котором определенное им отношение отражает отношение в эмпирической структуре. Например, чтобы произведение двух чисел было осмысленным, должно существовать эмпирическое событие, которое соответствует этому произведению. Если такого события нет, произведение является бессмысленным по определению.
Хотя Стивенс не дал алгебраического определения для концепта осмысленности, он высказал это в виде, по его мнению, интуитивно ясного предположения. В дальнейшем оно стало известным как количественная осмысленность [25].
Полное понимание концепта осмысленности научного высказывания остается недоступным: до сих пор не ясно, каковы условия, при которых инвариантность при допустимых преобразованиях является адекватным критерием для осмысленности, и не известно, какие еще критерии кроме этого могут быть использованы.
Многие сторонники репрезентативной теории измерения принимают, что числа, используемые для репрезентации одного вида эмпирических отношений (например, отношения эквивалентности), не всегда могут обрабатываться тем же способом, что и числа, используемые для репрезентации другого их вида (например, порядка). Это обстоятельство в значительной мере связано с тем, что в работах Стивенса [8, 33] рассмотренные выше концепты допустимости трансформаций были применены для статистических обработок, и было показано, что для выполнения определенных манипуляций с данными требуется, чтобы они соотносились с определенными же измерительными операциями. Сложение величин (например, для того, чтобы вычислить среднее), которые появились при использовании шкалы порядка, или ординальной шкалы, как было указано Стивенсом, оказывается неприемлемым; предполагалось, что операция сложения может быть применена только к величинам интервальных шкал или шкал отношений.
В работах Стивенса утверждалось, что только инвариантные к допустимым трансформациям числовые операций дают результаты, которые имеют соответствующие величины в эмпирической структуре. Если осуществлять манипуляции, не являющиеся инвариантными к допустимым трансформациям, то это, по определению, будет приводить к различным результатам в разных числовых структурах, репрезентирующих одну и ту же эмпирическую структуру.
Отсюда следует, что данной шкале измерений должны соответствовать только те статистические индикаторы, которые основаны на инвариантной в отношении допустимых трансформаций алгебре.
Предположим, что подсчитано среднее арифметическое нескольких длин. Если среднее основано на инвариантной алгебре, то в этой алгебре можно трансформировать длины и вычислить новое среднее, которое будет эквивалентно трансформированному старому. Отсюда следует, что среднее группы длин, измеренных в сантиметрах, равно 2.54 средним тех же длин, но измеренных в дюймах. Кроме того, в эмпирической структуре существует единственная длина, которая соответствует среднему других длин.
Трансформация один в один (1-в-1) среднего номеров на футболках в общем случае не будет равна среднему тех же самых номеров после такой же трансформации каждого номера на футболке по отдельности. Таким образом, получаются два различных средних даже в том случае, когда игроки, обозначенные при помощи величин на футболках (а эти величины были использованы для подсчета среднего в двух рассматриваемых случаях), были одними и теми же. В этом случае для того, чтобы не рассматривать выбор между двумя эмпирически различными средними, Стивенс предписал, что вычисление среднего никогда не должно быть применено к номинальным данным (в данном случае к номерам на футболках).
Соображения Стивенса о группах трансформаций сыграли важную роль. Однако, считается, что их автор все же не предложил аргументов, почему должны получаться именно эти, а не другие группы трансформаций. Поэтому подход Стивенса был скорее дескриптивным, чем аналитическим. Предписания, сформулированные в работах Стивенса, способствовали не только развитию его идей, но и разработке соответствующих контраргументов. Начиная с 50-х гг. стало ясно, что существуют структуры измерения, которые не подходят к предложенной им схеме. Однако значительный прогресс в понимании этой проблемы наметился только к середине 80-х гг.
С самого начала среди сторонников измерительного подхода возникли дебаты о том, какие виды эмпирических фактов могут репрезентироваться измерением. Например, в работе Кемпбелла [12] есть категорические указания на то, что измерение должно быть числовой репрезентацией только фактов конкатенации (измерения длины и аналогичных по процедуре измерения величин) или, по крайней мере, каким-то образом основываться на этих фактах. В терминологии Стивенса это указание Кемпбелла означает ограничение измерения до шкалирования отношениями. Кроме этого, как указывал Стивенс, вводя такие ограничения, Кемпбелл не строго соблюдал главный принцип репрезентализма.
Еще в работе Б. Рассела 1903 г. [30] в концепцию измерения была включена числовая репрезентация ординальных структур. Стивенс оказался даже более либеральным, позволяя включать в измерение числовые репрезентации структур классификации. Эти противоречия были свидетельством роста числа проблем, появляющихся в результате того, что теория репрезентации освободила сама себя от положений классической теории измерения (о ней будет сказано ниже) и последовала внутренней логике своего центрального принципа, примененного к содержанию психологии. В соответствии с ним числовая репрезентация некоторой эмпирической структуры и является измерением.
Использование идей репрезентативной теории измерения порождает естественный вопрос: "Почему для того, чтобы репрезентировать эмпирические структуры, обязательно надо приписывать числа?". Кемпбелл и Рассел не сомневались по поводу ответа на него. В работе [12] сказано, что это делается только для того, чтобы мощное оружие математического анализа могло быть применено к сущностному предмету науки. Математический анализ является мощным оружием, т.к. в нем содержатся соответствующие аргументы и теоремы, которые могут быть применены к эмпирическим высказываниям с момента приписания сущностным явлениям числовых значений. Но выводы, сделанные при помощи числовых аргументов, должны полностью соответствовать самим эмпирическим данным, а не выводами, содержание которых зависит от приписанных чисел. В противном случае измерение являлось бы более чем числовой репрезентацией, а функция чисел - чем-то большим по сравнению с обеспечением процесса дедукции.
Использование чисел при измерении - просто удобство, и они не могут "внести" в выводы свое содержание; выводы же могут быть получены при помощи неметрических эмпирических данных (хотя долго и запутанно), поэтому они не должны быть несвободны от специфики шкалы высказываниями. Свободные же от нее предпосылки репрезентируются числовым образом через измерения. Измерения ведут к зависимым от специфики шкалы выводам, затем из этих выводов делаются свободные от нее выводы. Но тогда релевантной является проблема: действительно ли эти свободные от специфики шкалы выводы были сделаны из свободных от нее предпосылок. В этой связи проблема допустимых статистик или осмысленности может быть опущена.
Как было показано в работе [16], идущее от Стивенса достаточно нестрогое определение осмысленности является неточным; оно провоцирует появление неправильных интерпретаций даже при условии его осторожного применения. Не ясно даже, что подразумевал Стивенс под высказываниями, включающими в себя числовые шкалы. Эта неточность привела к различным альтернативным формулировкам осмысленности, они приведены, например, в работах [9, 23].
Можно предположить, что определенные описательные статистики, т.е. мода, медиана, арифметическое или геометрическое среднее, будут пригодными не всегда, а только в определенных ситуациях измерения. Эта идея первоначально была выдвинута Стивенсом и широко использовалась для применения статистики в гуманитарных науках. Опираясь на принцип, согласно которому высказывания, включающие в себя статистики, должны быть инвариантными (т.е. осмысленными в указанном выше понимании), Стивенс утверждал: медианы соответствуют описательными статистикам для шкал порядка и мощнее, а арифметические средние соответствуют интервальным шкалам и мощнее.
Базисные идеи Стивенса стали также применяться в дедуктивных и выведенных логически статистиках. Основной принцип состоял в том, что в случаях, когда рассматриваемые числа не формируют, по крайней мере, интервальную шкалу, будет неадекватным использовать параметрические статистики (г-тест, корреляцию Пирсона, дисперсионный анализ). Для порядковых шкал могут быть использованы непараметрические статистики (такие, как Mann Whitney U, Kruskal Wallis H или Kendall т).
Как было показано в работе [9], Стивенс, по крайней мере, неточен в изложенной выше концепции. Например, сообщение о медиане или о среднем по множеству измерений просто равносильно сообщению о фактах этого множества, потому запрещать сообщения таких фактов является в значительной степени произволом.
Есть и другой аргумент, ставящий под сомнение предположение Стивенса о том, что только осмысленные утверждения будут полезны для ученого. Рассмотрим сложную теорию с проверяемыми основаниями. Одни ее элементы могут быть проверены через наблюдение, другие - порождать ненаблюдаемые события или переменные, как это имеет место в некоторых важных психологических теориях. Ненаблюдаемые элементы не имеют аналогов в эмпирической структуре по определению; отсюда следует, что они являются бессмысленными в измерительным смысле, и это ставит под сомнение результаты многих работ в психологии. Однако можно утверждать, что указанные элементы обладают некоторой полезностью, например, в качестве инструмента порождения проблем исследования.