На якому ж таємничій властивості розуму спочиває здібність до математики? Ми цього не знаємо; і хоча Пуанкаре намагався пояснити нам це, минецілком упевнені в тому, що зрозуміли його пояснення. Психологія акта розуміння залишається дуже темною; вона, очевидно, цілком залишається в області несвідомого. Для того щоб можна було сприйняти зміст словесної пропозиції, необхідно, щоб кожне слово мало відоме значення для змісту цілого, тому що зміст цей залежить від кожного слова окремо; але тільки шляхом умовиводів приходимо ми до визнання того, що ми сприймаємо значення кожного окремого слова і потім зближуємо ці приватні значення для утворення синтезу, тому що безпосередньо ми сприймаємо тільки усю фразу як одне ціле, іншими словами, ми сприймаємо тільки синтетичний результат. От чому нам дуже важко зрозуміти, як відбувається саме розуміння. Про цей можна тільки пошкодувати; якби було можливо точно зрозуміти, у чому саме складається здібність до математики, можна було б зайнятися її розвитком.
Більше ми нічого не будемо говорити про предмети шкільного викладання; ми піднімемося тепер на більш високу точку для огляду і постараємося визначити деякі спеціальні інтелектуальні типи.
3.2. Зауваження про деякі інтелектуальні типи
Окремі спостереження, зроблені всюди, і в школах, і в сім'ях, і над життям знаменитих людей, призвели до того, що встановили, поки тільки попередньо, у чеканні більш докладних досліджень, три спеціальні інтелектуальних типи, із котрих кожному відповідає його протилежність. Постачили їхніми ярликами, що, на жаль, не цілком точні, але які можуть служити для їхнього розпізнавання. Ми будемо такою уявою описувати:
1. Свідомий тип і його протилежність - тип несвідомий;
2. Об'єктивний і його протилежність - суб'єктивний;
3. Практичний ійого протилежність - літературний.
Насамперед треба пам'ятати, що ці типи крайні і, отже, виняткові , що ці різноманітні типи не складають протилежності друг другу, але, скоріше, не залежать один від іншого; нерідко можна зустріти такі суцільні натури, що з'єднують у собі свідоме з несвідомим, об'єктивне із суб'єктивним, практичне з літературним.
3.2.1. Свідомий і несвідомий типи
Ми зробимо декілька зауважень про різноманітні прийоми розумової праці; це - надзвичайно важливий для педагогіки питання, але класична педагогіка залишилася до нього глуха. Вона продовжує задовольнятися таким описом розумової праці, котрого не можна, звичайно, назвати повним, але який у той же час не применимо до всіх індивідів. Розумова праця зображують
як прояв розумової активності - прояв свідоме, довільне, розумне й особисте. Це -помилка. Існують і інші прийоми праці, не менше продуктивні. До методу рефлексії потрібно додати і навіть противопоставити йому метод натхнення. Той, то інший метод може бути більш продуктивним, у залежності від темпераменту. Потрібно дізнатися самого себе, потрібно випробувати обидва методи, порівняти їх, подивитися, який краще веде до цілі, досліджувати ті приватні умови, при яких повинний бути обраний той або інший, тому що, головним чином, це - питання зручності.
Метод рефлексії полягає в тому, що за вихідний пункт береться як точна думка - думка, що можна формулювати, що була знайдена шляхом рефлексії і який цілком ясна по своєму походженню, основам і зв'язку; це буде, отже, думка цілком свідома. Спираючись на її, роблять роботу, що почата цілком свідомо; цю роботу можна почати в будь-який момент, можна за своїм розсудом переривати її, знову братися за її і закінчити коли завгодно; таким чином, це -робота, якої ми вільно розпоряджаємося. Під час самої роботи ми упражняем свою увагу, свою пам'ять і своє критичне чуття; ми розбираємо яку думку, приймаємо або відхиляємо її і всякий разом знаємо, на якій підставі робимо те або інше; отже, це - робота свідомо розумна. Якщо отут і є що-небудь важке і навіть болісне, то це відбувається від необхідності зосередити свої думки на однім предметі, остаточно замкнутися в ньому, не дозволяючи собі ніякого відхилення убік. Зусилля, необхідне для розвитку нашої думки, викликає в нас свідомість нашої творчої ролі; ми дуже чітко відчуваємо себе причиною нашого твору і беремо на себе усю відповідальність за нього; я тут говорю, зрозуміло, про відповідальність не в юридичному або моральному змісті, а тільки в змісті интеллектуальному, що трактується в такий спосіб, думка проходить через усі фази розумової еволюції: спочатку вона -абстрактний зародок, неясна ідея, схема; потім вона повільно розвивається, росте, розширюється і насамперед диференціюється, тобто вона збагачується конкретними, точними, суттєвими, живими елементами; і ми одержуємо точне знання про цю еволюцію, у міру того як вона протікає, тому що адже ми самі нашим утручанням спрямовуємо її плин, і дуже часто вона протікає навіть по тому річищу, що ми самі їй зазначили.
Якби розумова праця була завжди такою, якою ми її тільки що описали, то мораль була б проста: для того щоб почати працювати, потрібно тільки цього побажати; чим більше працюєш, тим краще; одним словом учням потрібно тільки нагадати знамените виречення Ньютона, яким ми в дитинстві звикнули захоплюватися: «Геній є терпіння», і для рішення всяких питань потрібно тільки «увесь час думати про неї». Ця концепція не позбавлена величі; вона піднімає свободу волі й особистість. Вона цілком належить тій епосі, коли наївна психологія дивилася на кожного з нас як на збори пасивних здібностей, що знаходяться в розпорядженні завжди вільної волі.
Проте множина окремих спостережень, зроблених всюди і при самих різноманітних умовах, над поетами, філософами, ученими, а також над анормальними суб'єктами, якось: спиритами, медіумами, істеричними й іншими хворими, - показало, що описаний нами розумова і свідома розумова праця не складає загального правила. Бувають випадки, коли робота має зовсім інший характер; це залежить від обставин, предмета занять і темпераменту. Цей цілком своєрідний характер праці особливо яскраво виявляється там, де припадає діяти уяві; знаменитий математик Пуанкаре дав чудові роз'яснення по цьому питанню, описав той процес, за допомогою якого він прийшов до більшості своїх відкриттів. Його розповідь повна захоплюючого, майже драматичного інтересу.
От приблизно порядок, у котрому частіше усього випливають друг за другом окремі стадії його роботи. Вона починається з періоду свідомої праці. Він сідає за свій робочий стіл, розглядає питання з усіх боків, обмірковує, обчисляє, напружує всі сили своєї уваги - словом, чинить цілком свідому роботу. Часто він усвідомлює в тій трудності, що коштує в нього на шляху, але вона не перестає від цього бути непереборної і він, стомлений або навіть зневірений, кидає роботу.
Наступає другий період; проходить декілька днів, іноді декілька місяців. Він більше не сидить за робочим столом; він навіть не думає про свою роботу; він гуляє, піднімається на скелі, проходить по бульварі або сідає в омнібус; усі ці значення подробиці , що мають не , важливі для нас тільки тим, що показують, як мало він розташований до тому, щоб зробити розумове зусилля. Раптом у ньому відбувається яке осяяння; йому є ідея; це більше ніж ідея, це - істина; він помічає, що такая-то математична функція має такие-то властивості або що вона повинна бути сближена з який-небудь інший. Рішення, що він шукав раніш, є йому в такий спосіб у такий момент, коли він найменше думає про нього. І коли воно з'являється, воно приносить із собою глибоке переконання в тому, що воно -істина. Немає ніякої потреби робити перевірочні обчислення; вони, звичайно, будуть зроблені у свій час, але поки царює абсолютна впевненість.
Третій період - період свідомої роботи за робочим столом. Ідея , що раптово з'явилася , знову піддається розгляду, аналізується її утримання, провадяться необхідні обчислення і потім залишається тільки написати замітки, у яких викладається питання.
Пуанкаре докладно зупинився на властивостях і на появі ідеї у свідомості, а також на тих умовах, що її підготували. Вона з'являється після періоду свідомої роботи і, мабуть, ніколи б не виникнула без попереднього свідомого міркування над питанням. Це - ідея, утримання котрої неопреділенно і богато в те саме час; вона точна, тому що вказує на шлях, по котрому потрібно випливати, на обчислення, що потрібно зробити і на ціль, що повинна бути досягнута. Це воістину ідея-мама, як її назвав Боні; але вона неопреділенна в тому змісті, що сама по собі не робить жодного обчислення, і Пуанкаре цілком прав із своїм тонким і важливим зауваженням, що несвідомим шляхом ніколи не можна знайти твори двох множників, про які думав когда-нибудь колись.
Отже, ми маємо тут справу з іншим засобом праці - несвідомим; справді, його легко противопоставити методу рефлексії; ми не в змозі управляти ходом роботи, що з'явилася ідея не визивається свідомим і болісним зусиллям шукання; ми нічого не знаємо про цю ідею, вона приходить сама й уражає своєю раптовістю, відсутністю психологічної обгрунтованості; вона рекомендується нам продуктом якійсь далекої нам, що протікає поза нами діяльності; ми, із нашої сторони, перебуваємо в повній пасивності; ми віддаємося плину думок, і ця відсутність зусилля тим більше нам приємно, що ми переконані, що ця ідея, що нам нічого не коштує, буде багата плодами.