2. члены деления должны исключать друг – друга, т.е не иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются. Это правило тесно связано с предыдущим. Например, «треугольники бывают прямоугольными, тупоугольными, равнобедренными». Ошибка – смешение различных оснований деления.
3. деление д.б. непрерывным, нельзя делать скачки в делении. Будет допущена ошибка, если мы разделим удобрения на органические, азотные, фосфорные. Правильным будет сначала разделить удобрения на органические и минеральные, а затем уже минеральные удобрения разделить на азотные , фосфорные и калийные.
Классификация
Классификация – это распределение предметов по группам (классам), где каждый класс имеет свое постоянное, определенное место.
Классификация представляет собой вид последовательного деления; она образует развернутую систему, где каждый ее член (вид) делится на подвиды и т.д.
Существует классификация по видоизменению признака и дихотомическая.
Примерами классификации по видоизменению признака является следующие:
· зеркала классифицируются на плоские и сферические; сферические зеркала вогнутые и выпуклые.
Здесь мы видим сочетание 2-х видов классификации: по видоизменению признака и дихотомической.
Очень важен выбор основания классификации . разные основания дают различные классификации одного и того же понятия.
Классификация может производиться по существенным признакам (естественная) и по несущественным признакам (вспомогательная).
Естественная классификация – это распределение предметов по группам на основании их существенных признаков. Зная, к какой группе принадлежит предмет мы можем судить о его свойствах. Примером естественной классификации является периодическая система химических элементов Д.И. Менделеева. Расположив химические элементы в зависимости от их атомного веса, он вскрыл закономерности в их свойствах.
Естественная классификация животных охватывает дл 1,5 млн. видов, а классификация растений включает около 500 тыс. видов растений.
Существуют переходные формы, которые трудно отнести к той или иной определенной группе. Например, при классификации наук возникают такие переходные формы, как биохимия, геохимия, физическая химия и др.
В ходе изучения любого школьного предмета учащимся приходиться иметь дело с классификацией. Например, в русском языке, в котором различаются части речи: самостоятельные : имя существительное, глагол, прилагательное, наречие, местоимение, числительное; служебные : предлоги, союзы, частицы; и междометия. Пример был дан выше «плод».
Вспомогательная классификация – это распределение предметов по группам на основании их несущественных признаков. Вспомогательная классификация не дает возможности судить о свойствах предметов. Например, список фамилий, алфавитный каталог книг, предметный указатель в учебнике.
Отношение между понятиями. Круш Эйлера. Примеры и задания
Предметы мира находятся друг с другом во взаимосвязи и взаимообусловленности. Поэтому и понятия, отражающие предметы мира, так же находятся в определенных отношениях. Связь между двумя понятиями по содержанию может быть весьма далекой. Эта связь может выражаться только в том , что оба понятия отражают какие-то предметы или свойства предметов мира. Например, «безответственность» и «нитка», «романс» и «кирпич». Такого рода далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми, остальные называются сравнимыми.
Сравнимые понятия делятся по объему: на совместимыеые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовместимые (объемы которых не совпадают ни в одном элементе).
Типы совместимости:
1) Равнозначность (тождество)
2) Перекрещивание
3) Подчинение (отношение рода и вида)
Отношения между понятиями , изображают с помощью круговых схем 9кругов Эйлера), где каждый круг обозначает объем понятия. Если понятие единичное, то оно также изображается кругом.
a) равнозначными или тождественными называются понятия, которые различаются по своему содержанию, но объемы которых совпадают. Т.е в них мыслится или один и тот же класс, состоящий из одного элемента, или один и тот же класс предметов, состоящий более чем из одного элемента. Примеры равнозначных понятий.:
· Волга –самая длинная река в Европе.
· А.П. Чехов –автор комедии «вишневый сад»
· Равносторонний прямоугольник, квадрат, равноугольный ромб. Объемы тождественных понятий изображаются кругами, полностью совпадающими.
· Понятия, объемы которых частично совпадают, т.е. содержат общие элементы находятся в отношении перекрещивания.
Например, спортсмен и студент. Они изображаются пересекающимися кругами.
В заштрихованной части 2-х кругов мыслятся студенты, являющиеся спортсменами, или спортсмены являющиеся студентами. В левой части круга А – студенты не являющиеся спортсменами. В правой части круга В – спортсмены, которые не являются студентами.
Отношение подчинения (субординации)
Характеризуются тем, что объемом одного понятия целиком включается в объем другого понятия, но не исчерпывает его. Это отношение вида и рода; А – подчиняющее понятие (млекопитающее), В – подчиненное понятие (логика).
Типы несовместимости:
- Соподчинение (координация) – это отношение между объемами 2- х или нескольких понятий, исключающих друг – друга, но принадлежащих некоторому, более общему родовому понятию. Например,»ель», «береза», «сосна» принадлежат объему понятия «дерево».
Они изображаются отдельными неперекрещивающимися кругами внутри более обширного круга. Это виды одного и того же рода.
- В отношении противоположности (контрастности) находятся объемы таких понятий, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из них содержит какие- то признаки, а другое эти признаки не только отрицает, но и заменяет их другими, исключающими (т.е. противоположными знаками). Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами.
Примеры противоположных понятий: «храбрость»- «трусость», «белая краска» - «черная краска».
- В отношении противоречия находятся такие 2 понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другие эти признаки отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими признаками. Круг Эйлера в данном случае делится на 2 части (А и не А), и между ними не существует третьего понятия.
Примеры. Определить отношения между следующими понятиями; изобразить эти отношения кругами Эйлера.
1. дом, недостроенный дом, каменный дом, строение.
2.спортсмен, рабочий, орденоносец.
Логические операции с понятиями. Операции с классами (объемами понятий). Обобщение и ограничение понятий
Операции с классами это такие логические действия, которые приводят нас к образованию нового класса.
Существуют следующие операции с классами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение.
- Объединение (сложение) классов . Объединение (сумма) 2-х классов – это класс тех элементов, которые принадлежат хотя бы к одному из этих 2-х классов. Обозначаются: А+В или А В. Объединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел.
При объединении:
- Пересечение (умножение) классов.
Общей частью, или пересечением 2-х классов, называется класс тех элементов, которые содержатся в обоих данных множествах, т.е. это множество элементов общих обоим множествам. Пересечение обозначается А В или А в , -пустое множество.
Тождество подчинение перекрещивание
Соподчинение противоположность противоречие
Основные законы операций объединения и пересечения
1 .законы идемпотентности
А+А=А
А*А=А
Если мы к классу «дом» прибавим класс «дом», то поучим класс «дом», т.е. «домов» не станет в 2 раза больше и объем понятия «дом» останется прежним.
2. законы коммутативности.
А+В=В+А, А*В=В*А
Если мы к классу «растение» + класс «животное», то получим класс «организм». Тот же самый класс получим, если «животное»+ «растение».
3. законы ассоциативности.
(А+В)+С= А+(В+С)
(А*В)*С= А*(В*С)
4. законы дистрибутивности.
(А+В)*С= (А*С)+(В*С)
(А*В)+С=( А+С)*(В+С).
5. законы поглощения.
А+(А*В)=А
А*(А+В)=А
Доказательство этих законов осуществляется графическим методом.
Промежуточный результат изображен горизонтальной штриховкой. В первом законе поглощения он равен А*В, а во втором А+В. Конечный результат изображен вертикальной штриховкой; он равен классу А.
Вычитание классов.
Разностью множеств А и В называется множество тех элементов класса А, которые не являются элементами класса В. Разность обозначается А- В.
Могут встретиться следующие 5 случаев:
1 случай..Класс А включает в себя класс В. Тогда разностью А- В будет заштрихованная часть А, т.е. множество тех элементов, которые не суть В. Пример, если мы из множества звуков русского языка (А) вычитаем множество гласных звуков (В), то получим множество согласных звуков.
2 сл. разностью 2-х перекрещивающихся классов будет заштрихованная часть А. например, разность множеств «рабочий» (А) и «рационализатор» (В) даст множество рабочих, которые не являются рационализаторами.
3 сл. если класс А полностью включен в класс В и класс В включен в класс А, то эти классы равны (тождественны). Тогда разность А- В даст пустой, или нулевой класс, т.е. класс в котором нет ни одного элемента. Например, если мы из класса «сосна» вычитаем класс «сосна», то разностью А- В равна пустому классу.