Со времени Пеано возник новый интерес к вопросам об основах математики. В этой области существуют две противоположные школы мышления. С одной стороны, формалисты, их в основном заботит последовательность ряда; а с другой стороны, институционалисты, которые придерживаются отчасти позитивистской линии и требуют, чтобы мы могли показать то, о чем говорится.
Общей чертой этих математических направлений является их интерес к логике. Казалось, что здесь в ряде случаев логика и математика как бы сливаются. Со времен Канта, который считал логику завершенной наукой, в логической теории произошли большие перемены. В частности, были развиты новые формы трактовки логических доказательств посредством математических формул. Первое систематическое обоснование этого нового способа обращения с логикой было предпринято Фреге (1848—1925), чью работу, однако, совершенно игнорировали в течение двадцати лет, пока я в 1903 г. не привлек к ней внимание. В своей стране он. долго оставался неизвестным профессором математики. И только в последние годы стали признавать его значение как философа.
Математическая логика Фреге берет свое начало в 1879 г. В 1884 г. он опубликовал свои "Основные законы арифметики", в которых этот метод применен для более радикального рассуждения о проблемах, поднятых Пеано. Аксиомы Пеано, несмотря на их компактность, тем не менее неудовлетворительны с логической точки зрения. Несколько спорным выглядело то, что именно эти, а не другие утверждения должны быть основой математической науки. Сам Пеано никогда не заходил так далеко, чтобы рассматривать эти вопросы.
С чего начал Фреге, так это с того, чтобы показать аксиомы Пеано как логическое следствие из своей символической системы. Это должно было сразу удалить некоторый налет произвольности и показать, что чистая математика — это просто продолжение логики. В частности, было необходимо получить некоторое логическое определение самого числа. Представление, сводящее математику к логике, просится само из аксиом Пеано, поскольку основной словарь математики ограничивается двумя терминами — "число" и его "преемник". Второй из них — общий логический термин; чтобы свести наш словарь к логической терминологии, мы просто должны дать логическое объяснение первого. Это и сделал Фреге, определяя число посредством чисто логических понятий. Его определение выглядит почти так же, как то, которое дано Уайтхедом и мной в "PrincipiaMathematica". Там утверждается, что число — это класс всех классов, подобных данному классу. Так, каждый класс из трех объектов — это пример числа три, которое само является классом всех таких классов. Что касается числа в общем, это — класс всех конкретных чисел, и, таким образом, он оказывается классом третьего порядка.
Одной, возможно неожиданной, чертой, вытекающей из этого определения, является то, что числа нельзя складывать. В то время как вы можете сложить тройку яблок с парой груш и получить пять плодов, вы не можете сложить класс всех троек с классом всех двоек. Но, как мы видели, в действительности это не такое уж новое открытие. Уже Платон сказал, что числа не могут быть суммированы.
Анализ математики привел к тому, что Фреге сформулировал различие между смыслом суждения и его произнесением. Это требуется для объяснения того факта, что равенства — это не просто пустые повторения. Две части равенства имеют общее звучание, но различаются по смыслу.
В качестве системы символической логики обоснование Фреге не привлекло большого внимания, отчасти, без сомнения, из-за запутанности записи. Символы, использованные в "PrincipiaMathematica", кое-чем обязаны символам, применявшимся Пеано, и были найдены более приемлемыми. С тех пор большое количество записей стало использоваться в области математической логики. Одна из самых изящных из них была развита известной польской школой логиков, которая распалась во время последней войны. Подобно этому были сделаны значительные усовершенствования в способе компактности как записи, так и числа фундаментальных аксиом этой системы. Американский логик Шеффер ввел единственную логическую постоянную, в терминах которой, в свою очередь, могли бы быть определены предположительные исчисления. С помощью новой логической постоянной система символической логики могла опираться на единственную аксиому. Но все это — чисто технические вопросы, которые не могут быть объяснены в подробностях здесь.
Математическая логика с чисто формальной стороны не является более делом философов как таковых. Ее взяли в свои руки математики, хотя, конечно, это — математики совершенно особого сорта. Для философа представляют интерес проблемы, которые возникают из общих предположений о символизме, сделанных прежде, чем система приобретает вес. Ему также интересны парадоксальные заключения, к которым иногда приходят при построении символической системы.
Один из таких парадоксов возникает в связи с определением числа в "PrincipiaMathematica". Его причиной стало понятие "класс всех классов". Поскольку очевидно, что класс всех классов — сам по себе класс и, следовательно, относится к классу всех классов, то он содержит в себе себя как одного из своих членов. Существует, конечно, много других классов, которые не имеют этого качества. Класс всех избирателей сам не имеет привилегий всеобщего избирательного права. Здесь возникает парадокс, при котором мы рассматриваем класс всех классов, которые не являются членами себя.
Вопрос в том, является ли этот класс членом себя или нет. Если мы предположим, что он — член себя, тогда это не является примером класса, который включает себя. Но для того чтобы быть членом себя, он должен быть того типа, который рассматривался в первом случае, то есть быть не членом себя. Если, напротив, мы допустим, что обсуждаемый класс не является членом себя, тогда это не является примером класса, который не включает себя. Но для того чтобы не быть членом себя, он должен быть одним из классов в классе, о котором был задан первоначальный вопрос, и так он член себя. В ином случае мы приходим к противоречию.
Это затруднение можно убрать, заметив, что не следует рассматривать классы на совершенно тех же основаниях, что классы классов, так же как обычно человек не будет говорить о людях на тех же основаниях, что и о нациях. Тогда становится очевидным, что нам не следует говорить о классах, которые являются своими собственными членами, так многословно, как мы делали, обосновывая парадокс. Затруднения, касающиеся парадоксов, были рассмотрены с разных сторон, и все же не было достигнуто общего соглашения о том, как от них следует избавиться. Эта проблема еще раз напомнила философам о необходимости тщательного исследования путей построения предложений и использования слов.
СОВРЕМЕННОСТЬ.
Обращаясь к философии и изучая ее историю за последние 70 или 80 лет, мы сталкиваемся с некоторыми затруднениями, поскольку это время еще так близко к нам, что невозможно смотреть на него с должной дистанции и с известной отстраненностью. Мыслители более отдаленного прошлого должны были выдержать испытание критической оценки последующих поколений. С течением времени происходит постепенный отсев идей, который облегчает задачу отбора. Очень редки случаи, когда незначительный мыслитель приобрел со временем какую-то славу, которой его работа не заслуживает. Впрочем, случается и так, что гениальные люди бывают незаслуженно забыты.
При выборе современных мыслителей этот вопрос становится еще более трудным, а шансы достигнуть сбалансированного решения более неопределенными. В то время как в прошлом можно усмотреть фазы развития в их целостности, настоящее слишком близко к нам, чтобы позволить распутать клубок истории с той же уверенностью. Иначе и быть не может. Сравнительно легко быть мудрым после того, как событие произошло, и понять развитие философской традиции. Но было бы гегелевской иллюзией представлять себе, что значение современных изменений во всех подробностях может быть выведено с помощью всеобъемлющей дедукции. В лучшем случае можно надеяться увидеть некоторые общие направления, которые могут быть связаны с предыдущими явлениями в философии.
Конец XIX в. отмечен рядом новых достижений, которые повлияли на интеллектуальный климат нашего времени. Прежде всего это — окончательное крушение старого социума, который существовал в доиндустриальную эпоху. Громадный технический прогресс сделал жизнь гораздо более сложной, чем когда бы то ни было. Хорошо это или плохо — мы не будем здесь обсуждать. Просто отметим тот факт, что запросы в наше время значительно разнообразнее, а наши требования к обыденной жизни много сложнее, чем прежде.
Все это отражено также и в сфере умственной деятельности. Если раньше одному человеку было возможно одновременно овладеть несколькими науками, то теперь становится все более трудно для одного человека достичь совершенного знания даже в одной-единственной области. Разделение интеллектуальных занятий на более узкие сферы вызвало в наше время настоящую неразбериху в языке. Это нездоровое положение дел — результат определенных изменений, вызванных развитием современного технологического общества. Не в столь уж отдаленном прошлом не только в одной стране, но по большому счету во всей Западной Европе преобладала общая подготовка, которая была у всех, кто достигал определенного уровня образованности. Это не было, конечно, всеобщей или равной, изысканной образованностью. Образование обычно было уделом привилегированных, но с тех пор их исключительное положение перестало быть таковым; единственным допустимым критерием теперь является компетентность, но это — привилегия другого сорта. Эта общая основа понимания теперь исчезла. Требования и давление специализации направляют молодых людей в узкие рамки профессии раньше, чем у них появляется более широкий интерес и понимание. В результате этого часто чрезвычайно трудно общаться друг с другом тем, кто посвятил себя разным областям исследований.