Ефект доходу та ефект заміщення на товарному ринку (стр. 7 из 8)
Мал. 3.1. Ефект заміни і ефект доходу по Слуцькому.
Ціна Х підвищується.
Порівнявши два підходи, ми бачимо, що метод Хікса припускає знання споживчих переваг, кривих байдужості, тоді як метод Слуцького не вимагає цього, він базується на спостережуваних і реєстрованих фактах поведінки споживача на ринку.
3.1. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО ТА ЗМІЖНІ ПИТАННЯ.
Зміна ціни деякого блага спричиняє за собою зміну об'ємів споживання всіх благ - і того ж самого, і інших. Всі ці зміни відповідно до теореми Слуцького розкладаються на компоненти, пов'язані з ефектами заміни (заміщення) і доходу.
Слід відмітити, що в статті Е. Е. Слуцького "До теорії збалансованого бюджету споживача" не тільки формулювалося і доводилося знамените рівняння, але були введені ряд важливих понять і тверджень, що склали основу теорії споживання. Більш того, висловлені в ній ідеї лежать також в основі теорії пропозиції чинників, так що можна говорити про створену Е. Е. Слуцьким теорію ринкової поведінки домашніх господарств. Той же самий підхід виявився плідним і в теорії виробництва, де вплив зміни ціни ресурсу може бути розкладений на складові, подібні до ефектів заміни і доходу в споживанні.
Нижче висловлюються теорема Слуцького і пов'язані з нею питання теорії споживання з повним доказом всіх тверджень. Проте виклад не відтворює текст самого Е. Е. Слуцького: за час, що пройшов після виходу його роботи, значно удосконалилися і методи мікроекономічного аналізу, і математична техніка аналізу оптимізаційних завдань.
3.1.1. ФУНКЦІЯ ПОПИТУ.
Вважатимемо, що споживач вибирає набір, який включає в себе n різних благ. Для набору благ використовуватимемо векторне позначення Х = (х1, х2..., хn). Система переваг споживача описується функцією корисності u(Х), яку вважатимемо такою, що безперервно диференціюється. Вектор Р = (р1, р2..., рn) характеризує ціни на ринках благ. Можливості вибору для споживача обмежені величинами його доходу I. Таким чином, споживчий вибір може бути описаний оптимізаційним завданням
u(X) > max при РХ = I (1)
де використано позначення
n
PX = Σ * pixi
i = 1
Рішення цієї задачі - вибраний споживачем набір благ - залежить від цін і доходу. Ця залежність виражається функцією попиту:
D(P,J)= (D1 (P,J), D2 (P,I)..., Dn (P, J)).
Кожна з скалярних функцій Di (P,J) - попит споживача на i-те благо, залежний від доходу і всіх цін.
Умовою рівноваги споживача є пропорційність граничних корисностей всіх благ цінам:
n
PX = Σ * pixi
i = 1
Основне питання, що розглядається надалі, пов'язане з реакцією споживача на зміну однієї з цін (скажімо, рi) при постійності всіх інших цін і доходу. При цьому змінюються значення всіх функцій Di, як із-за зміни цінових пропорцій, так і із-за зміни реального доходу споживача.
3.1.2. НЕПРЯМА КОРИСНІСТЬ.
В рамках сучасної теорії корисності, почало якій належить класичними роботами Дж. Хікса і Р. Аллена, рівень реального доходу зв'язується з максимальним ступенем задоволення, якого може при раціональному виборі досягти споживач при даних цінах і даній величині грошового доходу. Якщо корисність набору благ описується функцією корисності u(Х), то рівень реального доходу, залежний і від грошового доходу I, і від системи цін Р, може бути описаний функцією непрямої корисності:
V(Р, I)= max{u(Х)| PX =I }.
або
V(Р, I)= u (D(Р, I)). (3)
Непряма корисність поєднання грошового доходу і цін - це корисність набору D - рішення задачі (1). Тоді як функція корисності u(Х) безпосередньо характеризує систему переваг споживача, функція непрямої корисності V(P,I) пов'язана з перевагами через оптимізуючий процес споживчого вибору.
Якщо вважати ціни фіксованими, то непряму корисність можна трактувати як корисність грошового доходу. При цьому непряма корисність вимірюється в тій же шкалі, що і "пряма корисність" благ u(Х). З погляду ординалістської концепції споживчої поведінки числові значення функції V(P,I) не представляють інтересу. Так само як і функція прямої корисності, вона дозволяє зіставити комбінації цін і грошового доходу (Р,I) і з'ясувати, які з них більш, а які - менш сприятливі для даного споживача. Зокрема, в термінах непрямої корисності легко визначити введені Хіксом поняття еквівалентного (ДIe)і компенсованого (ДIc) приростів доходу, відповідних зміні цін Др:
V(Р + ДР, I)= V(Р, I + ДIe), V(P + Др, I + ДIc)= V( Д, I).
Вплив зміни доходу і цін на рівень задоволення споживача можна визначити, диференціюючи рівність почленно (З):
(4)
(5)
Відзначимо, що рівність, що виражає бюджетне обмеження:
(6)
виконується при будь-яких I і Р, так що його можна диференціювати:
(7)
або
(8)
Порівнюючи рівність (2) і (7) з урахуванням умови (1), знаходимо, що
(9)
Почленно перемножуючи рівність (8) і (9) і порівнюючи з (5), отримуємо
(10)
Рівність (10) має достатньо прозору економічну інтерпретацію і на перший погляд представляється тривіальним. Якщо об'єм споживання j-того блага складає D, а його ціна зросла на ∆рj > 0, то витрати на його придбання зростають, здавалося б, на величину ∆рjDj; збільшення доходу на цю величину компенсувало б збиток від зростання ціни, так що ∆ic = ∆pjDj.
Саме такої точки зору дотримувався Е. Е. Слуцький. Дж. Хікс звернув увагу на наступне. При зміні ціни j-того блага змінилося співвідношення цін, і хоча добавка до початкового доходу величини Др. D дозволить споживачеві придбати початковий набір благ, але в новій ситуації такий вибір, взагалі кажучи, не оптимальний, тобто споживач опиниться в змозі придбати і переважніший набір. Можна затверджувати лише, що ∆Ic > ∆pjDj. У цьому і виявилася відмінність в підходах Хікса і Слуцького до поняття компенсації зміни ціни.
Отже, якщо, слідуючи Хіксу, розуміти під компенсацією відновлення початкового рівня добробуту, то добуток Др. D дає завищену оцінку ∆Ic; оптимальний вибір споживача в кожній ситуації "ціни-доходу" і процеси заміщення одних благ, іншими приводять до порушення рівності ∆Ic = ∆pjDj для кінцевих приростів.
Але воно, як випливає з рівності (10), вірно в межі при ∆рj > 0. Дійсно отже в диференціальній формі dIc = Djdpj. Аналогічні міркування показують, що dIe = -Djdpj.
3.1.3. ФУНКЦІЯ ЗАМІЩЕННЯ
Під заміщенням, або заміною, мається на увазі така зміна об'ємів споживання різних благ, при якому корисність споживаного набору не змінюється. При зміні цін точка споживчого вибору, взагалі кажучи, переміщається з однієї поверхні (кривій) байдужості на іншу, тобто корисність споживаного набору змінюється. Стосовно зміни споживчого вибору при зміні цін заміщення виступає тільки як засіб теоретичного аналізу; воно є лише компонентом зміни вибору і може розглядатися як результат зміни цін з одночасною компенсуючою зміною доходу.
Для формального опису заміщення розглянемо оптимізаційне завдання, зв'язане по відношенню до завдання (I): знаходження набору благ, що має найменшу вартість і що доставляє споживачеві заданий рівень корисності U:
РХ >min при u(Х)= U (11)
Рішення цієї задачі - набір благ, що розглядається залежно від системи цін Р і від заданого рівня корисності U, - називатимемо функцією заміщення:
Q(P, U)= (Q1(Р, U) (Q2(Р, U)..., (Qn(Р, U)).
Зміна будь-яка з цін (рj) приводить до зміни всіх Qi, ступінь цієї мінливості отримав назву ефекту заміни. У диференціальній формі ефект заміни виражається величиною dQi/dpj.
3.1.4. РІВНІСТЬ СЛУЦЬКОГО.
Хай споживач, що має дохід I, при цінах Р вибрав набір D(P, I) і отримав корисність U=V(P, I). Ясно, що він не міг би досягти тієї ж корисності меншими витратами, так що набір D(P, I) є в той же час рішенням задачі заміщення при даних цінах і рівні задоволення. Тому має місце тотожність
<D(P, I)= Q(P, V(Р, I)). (12)
Диференціюючи почленно тотожність (12) за ціною j-того блага, отримаємоабо, з урахуванням рівності (10)
(13)
З іншого боку, диференціюючи (12) по I, отримаємо
Зіставляючи цей результат з рівністю (13), отримаємо затвердження теореми Слуцького:
Перший доданок в правій частині інтерпретується як ефект заміни, другий (разом із знаком "мінус") - як ефект доходу.
Відмітимо, що вектор Х споживчого вибору можна розглядати і як значення функції попиту, і як значення функції заміщення:
Х = D(P, I)= Q(P, Q),
де I = РХ, U = u(X).
Тому в тих випадках, коли ми оперуватимемо величинами об'ємів попиту на різні блага, а не їх залежностями від тих або інших змінних, нам буде байдуже, чи вважати їх значеннями функції D або Q; ми їх позначатимемо х.. У цих позначеннях рівність Слуцького має вигляд:
(14)
Зокрема, при i = j рівність (14) описує зміна попиту на деяке благо при зміні його власної ціни: внаслідок убиваючої норми заміни власний ефект заміни завжди негативний; ефект доходу може бути як негативним (для нормальних благ), так і позитивним (для нижчих благ).
Рівність Слуцького може бути записана також як співвідношення між еластичностями попиту. Помножимо обидві частини рівності (14) на pj / xi:
Вираз в лівій частині є еластичністю попиту на i-те благо за ціною j-того (пряму - при i = j, перехресну, - при (iOj):
Перший доданок в правій частині є еластичністю компенсованого попиту (при фіксованій корисності) на i-тое благо за ціною j-того:
Виразє еластичністю попиту по доходу, а відношення wj=рjхj / I - часткою j-того блага у витратах. Використовуючи ці позначення, виразимо рівність Слуцького в термінах еластичностей попиту:
(15)
3.1.5. ПЕРЕХРЕСНИЙ ЕФЕКТ ЗАМІНИ.
Із завданням (1) оптимального споживчого вибору, обмеженого величиною доходу, зв'язана функція V(P, I), що характеризує корисність доходу I при заданих цінах. Подібно до цього, із завданням (11) пов'язана функція: