s2*M[a- (32)
Відповідно величини вибіркової (емпіричної середньої та незсуненої
вибіркової) емпіричної дисперсії розраховують такими залежностями:
(33)
- Iй
п ,=1
1 "
s2 =—~х)2-
п-1 ,=1
(34)
Класичний підхід визначення тарифів можна розглянути на
прикладах договорів загального страхування, які не є договорами
страхування життя.
Договори загального страхування характеризуються відносно коротким
строком дії договору - від кількох днів до одного року (вантажоперевезення,
і-/
Для визначення нетто-тарифу за договором загального страхування
розглянемо гіпотетичний випадок, коли відома вся необхідна для розрахунків
інформація. Припустимо, що під час проведення страхування визначеного
ризику (наприклад, майнове страхування будівель від стихійного лиха)
протягом фіксованого проміжку часу At (наприклад, одного року)
страховиком заплановано:
• проведення страхування за п in = 1,2,...) договорами із страховими
сумами S, S, S vS відповідно;
настання за цими договорами страхових випадків із страховими
виплатами Sel,Se2Se3...Sm.
Визначимо розмір нетто-тарифу під час страхування ризику, який
відповідав би взятим зобов'язанням страховика з названих видів страхування.
У розглянутому випадку нетто-тариф можна визначити на підставі
загального принципу еквівалентності зобов'язань страховика та
страхувальників. Зобов'язання страховика дорівнюють сумі страхових
відшкодувань:
sm+sB2+sB3+...+sBm, (38)
а зобов'язання страхувальників - сумі внесених нетто-премій:
транспортне страхування, страхування споруд, будівель тощо). Ця
особливість визначає характери-особливості розрахунку страхових тарифів за
такими договорами:
• вираховується величина лише разової страхової премії;
не враховується можливий інвестиційний прибуток від розміщення
тимчасово вільних коштів страхових резервів із цих видів страхування.
Наприклад, тарифи будівельних ризиків, наведені в додатках №1 та
№2, можуть бути розраховані за схемою договорів загального страхування.
При розрахунку нетто-премії вважають, що величина N разової нетто-
премії виражає еквівалентність зобов'язань страховика та страхувальників і
пропорційна величині S страхової суми:
N = Т S, (35)
де: коефіцієнт Т називають нетто-тарифом чи нетто-ставкою.
Брутто-премія В, або просто страхова премія, пропорційна нетто-премії N:
В =aN, (36)
де: а коефіцієнт пропорційності (аг>1), містить в собі долю /
навантаження (адміністративні витрати, комісійні, плановий прибуток
страховика) і визначається співвідношенням:
а = -
(37)
і
Ni +n2 +N3 +...+Nn =ГД +T0s2 +T0S3 +...
+T0SN=T0(Sl+S2+S3+...+SN),
(44)
w да
звідки знаходимо шукане значення нетто-тарифу:
т=ЇВ m. (45)
п
Останню рівність записують, як правило, у вигляді:
т=кЗБи,, (46)
тобто виражають нетто-тариф під час страхування визначеного ризику через
два основні параметри:
коефіцієнт збитковості за цим страховим ризиком Кзб:
Кб= f, (47)
відносну частоту настання страхової події за цим страховим ризиком v:
(48)
Наведені співвідношення вирішують поставлене завдання і дозволяють
розрахувати нетто-тариф під час страхування визначеного ризику лише у
апостеріорному (післядослідному) випадку, коли відома вся необхідна
інформація, а саме відомі значення параметрів n,m,se,s або Кр ,и. На практиці
при апріорному (до початку досліду) визначенні тарифів жодний із цих
параметрів невідомий, і всі вони є випадковими додатніми величинами. Але
наведений приклад та отримані співвідношення мають важливе значення для
перевірки і коригування значень тарифів за результатами страхової
діяльності, правильності апріорного визначення тарифів. Саме ці
співвідношення вказують на необхідність у діяльності кожної страхової
компанії постійного спостереження та аналізу значень параметрів Кзб, и за
прийнятим на страхування ризиком і дозволяють періодично коригувати
наперед визначені для такого ризику тарифні ставки.
де: T0 - нетто-тариф, який потрібно визначити. Значення T0 в даному
прикладі можемо знайти з рівняння балансу зобов'язань страховика та
страхувальників:
sB1 +sB2 +sB з +...+sB_m +s2 +s3 +...+sN), (40)
або:
м N
(41)
7=1
У цьому балансовому співвідношенні зручно виконати усереднення за
договорами страхування, поділивши обидві частини на mn:
—5>..=г„—XV (42)
mn і mn j=і
А далі, ввівши значення - середньої страхової виплати та значення s
-- середньої страхової суми на один договір:
1 m 1 m . . _ ч
sB=±bsA, s.^Sj, (43)
m ,=і да ,=i
перейти до співвідношення:
m
п
s = t„
Практично на страхування беруть ризики, ймовірність настання яких не
вища за 0.25, тобто прир < 0.25 і для 3 застосовують оцінку:
np у np
Отже, нетто-тариф під час страхування виділеного ризику
розраховується із заданою довірчою ймовірністю у за формулою:
При апріорному визначенні нетто-тарифу у загальному випадку
розглянутої моделі страхових відшкодувань у співвідношенні Т0 = Кзби
потрібно розв'язати суперечність, яка полягає в тому, що ліва частина (нетто -
тариф) має бути наперед визначеною фіксованою величиною, а права частина
є випадкова величина, значення якої можуть істотно змінюватися в різні
періоди діяльності страховика.
Для розв'язання цієї суперечності широкого застосування набув метод,
який ґрунтується на тому, що замість випадкової величини достатньо взяти її
найбільше можливе із заданою довірчою ймовірністю значення. Такий підхід
визначає структуру нетто-тарифу за договором загального страхування:
т =т0 +тр, (49)
де: і\=м\Кл>\ - основна частина нетто-тарифу (математичне сподівання
збитків з одиниці страхової суми в разі великої кількості страхування за
визначеним ризиком);
тр =T0v — ризикова (страхова) надбавка до основної частини нетто-тарифу,
яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення
відносної величини виплат і обчислюється за формулою:
s = tJDK^\=t р[у]М[Кзб І2 + D[K36]M|;/| (50)
' М[Кз6и\ M\K JM\v\ ' 1
де: tr - квантиль рівня у нормального розподілу.
За законом великих чисел при великих значеннях п випадкова величина
прямує з ймовірністю одиниці до значення р теоретичної ймовірності
настання страхової події за визначеним ризиком та розподілена за
нормальним законом з параметрами:
М[у] = р, D[y] = Pl~P . (51)
п
Величини страхових виплат Sel будемо вважати розподіленими за
рівномірним законом. Таким чином, для коефіцієнта збитковості Кзб маємо:
(52)
ІП
Останні співвідношення дозволяють спростити формулу обчислення
величини 3:
p[Q\M[K3612+ D[K36 ]M _ h-p +1/3 ,53ч
М[Кзб]М[и] І np '
3 =
1-/7 + 1/3 ^ „ 1 -р
(54)
np
де: ty- квантиль рівня анормального розподілу (значення tr це рішення
рівняння F(x)=y\ де: Fix) - функція розподілу, ;/ - довірча ймовірність);
п - кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;
р - ймовірність настання страхової події за визначеним ризиком;
М[Кзб] - математичне сподівання величини Кзб для визначеного ризику
практично не змінюється і має слідуючи значення:
0.3 - при страхуванні від нещасних випадків та хвороби;
0.4 - при страхуванні засобів наземного транспорту;
0.5 - при страхуванні вантажів та майна (крім засобів транспорту);
0.6 - при страхуванні засобів повітряного та водного транспорту;
0.7 - при страхуванні відповідальності власників автотранспортних засобів
та інших видів відповідальності, а також при страхуванні фінансових
ризиків.
Для обчислення нетто-премії N за договором страхування визначеного
ризику слід нетто-тариф Т помножити на величину S страхової суми
(залежність 35):
N = S • T. (56)
T =M[KJp
(55)
Зауважимо, що величина нетто-тарифу істотно залежить :
від запланованої кількості договорів страхування за визначеним
ризиком і зменшується з їх зростанням до математичного сподівання
величини збитків страхової суми;
від значення довірчої ймовірності шуканого тарифу і зростає з
наближенням цього значення до одиниці;
від точності вибору значення коефіцієнта збитковості.
Розрахунки страхових тарифів в індивідуальній моделі ризику.
Наведені формули виражають класичний підхід розрахунку нетто-тарифу для
страхового ризику за наявності мінімальної інформації про можливі майбутні
страхові виплати. Якщо відомі додаткові статистичні дані про процес
настання страхової події, можливе застосування більш точних методів
обчислення страхових тарифів.
Для розв'язання відповідних задач вводять різні статистичні моделі
страхових ризиків і розглядають відповідні моделі розподілу сумарного
розміру страхового відшкодування. Найпростішою з них є модель
індивідуальних ризиків, яка щодо договору страхування передбачає таке:
• для кожного договору страхування відомі статистичні властивості
пов'язаного з ним можливого відшкодування Хк, де: к - порядковий номер
договору.
Зауважимо, що далеко не за кожним договором виплачується страхове
відшкодування, тому деякі випадкові величини Х (страхові відшкодування
за ітим договором) можуть дорівнювати нулю. Загальний розмір страхового
відшкодування за страховою подією, тобто розмір зобов'язань страховика,
визначає між собою сума випадкових величин:
sn=x,+x2+...+xn. (57)
У загальному випадку при використанні моделі індивідуального ризику
величина Вк страхової премії за k-м договором страхування розраховується з
умови достатності із заданою довірчою ймовірністю отриманих страхових
премій для виконання зобов'язань страховика за формулою: