Параметрическое исследование систем управления (стр. 5 из 7)
фактических значений временного ряда от тренда f(t).
2.2 Выбор метода исследования, его обоснование, описание
В данной курсовой работе выбираем метод наименьших квадратов с весами. В методе каждому отклонению Е придается вес, для того чтобы более точнее определить влияние прогнозного значения показателя. Чаще всего метод применяется, если исследуемая продукция является сезонной, так как значение показателя меняется в определенные промежутки времени. Исследуемой продукцией данной курсовой работы являются кирпичи, которые в свою очередь являются сезонной продукцией.
Экстраполяция выполненной с помощью МНК тенденции изменений показателя на прогнозный период предполагает, что все наблюдения (уровни временного ряда) равнозначны для прогноза. Однако информация об изменении показателя в период времени, непосредственно примыкающий к моменту прогноза, «ценнее» для прогнозирования, чем в более удаленный. Но и более удаленные от момента прогноза наблюдения временного ряда также несут значительную информацию о процессе, поэтому пренебрегать этими наблюдениями при расчете прогноза не следует.
Для учета различной «ценности», или, как это принято в терминологии прогнозирования и информатики, «веса» информации в различные моменты времени применяют метод наименьших квадратов с весами (МНКВ) и метод экспоненциального сглаживания.
Рассмотрим метод наименьших квадратов с весами.
Суть метода заключается в том, что каждому отклонению E придается вес βt < 1, причем веса возрастают для точек, находящихся ближе к моменту прогнозирования. Следовательно, чем дальше наблюдение (уровень) стоит от момента прогноза, тем меньший вес оно имеет, тем меньшее влияние оказывает на формирование уровня прогнозного значения показателя.
Для определения веса βt удобно использовать выражение:
βt=αn-(t-1) (2.1)
где – α некоторое число, меньшее единицы; n – число наблюдений. Чем меньше величина α, тем меньше ранние наблюдения влияют на прогноз.
Условие для МНКВ запишется в виде:
∑β[xt-f(t)]2→min (2.2)
Система нормальных уравнений для МНКВ имеет вид:
 |
∑βx=a∑β+b∑βt+с∑ βt
∑βxt= a∑βt+b∑βt2+ с∑ βt2 (2.3)
∑βxt= a∑βt2+b∑βt3+ с∑ βt4
2.3 Расчет искомых показателей
За последние три месяца на предприятии «Атлант» по производству кирпичей наметился спад объёма продаж, и как следствие объёма прибыли.
Директором предприятия был принят ряд мер, направлённых на увеличение объёма продаж (реклама, различные методы стимулирования сбыта и т.п.).
Проведите исследование системы управления предприятием и определите:
а)способствовала ли проведённая кампания увеличению объёма продаж;
б)как при сохраняющейся тенденции изменится объём продаж предприятия через 5 лет;
в)отразите возможный диапазон изменения прибыли предприятия на период 2009-2013 гг.
г)оцените эффективность предлагаемых мероприятий через 3 года при темпе инфляции 12%
д)существует ли зависимость объёма продаж предприятия от затрат на рекламу продукции кирпичей.
Исходные данные приведены в таблице 2.
Таблица 2.1 - Объем продаж предприятия «Атлант» за 14 лет
| Порядковый год работы предприятия “Атлант” | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| Объём продаж предприятия за год (тыс. руб.) | 3500 | 4800 | 5000 | 2900 | 3650 | 3490 | 3330 | 3170 | 3010 | 2850 | 2690 | 2530 | 2370 | 2210 |
Анализ условия задачи позволяет выделить факторный и результативный показатели:
1)факторный показатель х – порядковый год работы предприятия “Атлант”, 1,2,3 …..12,13,14;
2)результативный показатель у – объём продаж предприятия за год(тыс. руб.) .
Строим график зависимости объема продаж от времени работы предприятия на основании таблице 2.1
Рисунок 1 - График зависимости объема продаж от времениработы предприятия
Всоответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров а, b и c необходимо решить следующую систему уравнений:
 |
∑βx=a∑β+b∑βt+с∑ βt
∑βxt= a∑βt+b∑βt2+ с∑ βt2 (2.3)
∑βxt= a∑βt2+b∑βt3+ с∑ βt4
Для того чтобы более ранняя информация оказывала влияние на прогноз альфа (α) принимается ≈1, (α=0,9)
Составляем таблицу 2.2 для расчета прогноза объема продаж предприятия на период 2009-2013гг., если известна динамика объема продаж за предыдущие 14 лет.
Таблица 2.2 - Динамика объема продаж на период 1995-2008 гг.
| Год | Объём продаж предприятия за год (тыс. руб.) (Х) | t | t2 | t3 | t4 | xt | xt2 |
| 1995 | 3500 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3500 | 3500 |
| 1996 | 4800 | 2 | 4 | 8 | 16 | 9600 | 19200 |
| 1997 | 5000 | 3 | 9 | 27 | 81 | 15000 | 45000 |
| 1998 | 2900 | 4 | 16 | 64 | 256 | 11600 | 46400 |
| 1999 | 3650 | 5 | 25 | 125 | 625 | 18250 | 91250 |
| 2000 | 3490 | 6 | 36 | 216 | 1296 | 20940 | 125640 |
| 2001 | 3330 | 7 | 49 | 343 | 2401 | 23310 | 163170 |
| 2002 | 3170 | 8 | 64 | 512 | 4096 | 25360 | 202880 |
| 2003 | 3010 | 9 | 81 | 729 | 6561 | 27090 | 243810 |
| 2004 | 2850 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 28500 | 285000 |
| 2005 | 2690 | 11 | 121 | 1331 | 14641 | 29590 | 325490 |
| 2006 | 2530 | 12 | 144 | 1728 | 20736 | 30360 | 364320 |
| 2007 | 2370 | 13 | 169 | 2197 | 28561 | 30810 | 400530 |
| 2008 | 2210 | 14 | 196 | 2744 | 38416 | 30940 | 433160 |
| сумма | 45500 | 105 | 1015 | 11025 | 127687 | 304850 | 2749350 |
На основании формулы 2.1 и таблицы 2.2 рассчитываем коэффициент β:
β 1=α14=0,26
β 2=α13=0,28
β 3=α12=0,31
β 4=α11=0,34
β 5=α10=0,37
β 6=α9=0,41
β 7=α8=0,45
β 8=α7=0,49
β 9=α6=0,54
β 10=α5=0,60
β 11=α4=0,66
β 12=α3=0,73
β 13=α2=0,81
β 14=α1=0,9
∑β=7,15
βx=0,914*3500+0,913*4800+0,912*5000+0,911*2900+0,910*3650+0,99*3490+0,98*3330+0,97*3170+0,96*3010+0,95*2850+0,94*2690+0,93*2530+0,92*2370+0,91**2210=801,50+1214,40+1410+907,70+1270,20+1350,63+1431,90+1521,60+1598,31+1681,50+1764,64+1844,37+1919,70+1989=20705,45
∑βt=0,914*1+0,913*2+0,912*3+0,911*4+0,910*5+0,99*6+0,98*7+0,97*8+0,96*9+0,95*10+0,94*11+0,93*12+0,92*13+0,91*14=0,26+0,506+0,846+1,252+1,74+2,322+3,01+3,824+4,779+5,9+7,216+8,748+10,53+12,6=65,3
∑βt2=0,914*1+0,913*4+0,912*9+0,911*16+0,910*25+0,99*36+0,98*49+0,97*64+0,96*81+0,95*100+0,94*121+0,93*144+0,92*169+0,91*196=0,229+1,012+2,538++5,008+8,7+13,932+21,07+30,592+43,011+59+79,376+104,976+136,89+176,4==684,65
∑βt3=0,914*1+0,913*8+0,912*27+0,911*64+0,910*125+0,99*216+0,98*343+0,97*512+0,96*729+0,95*1000+0,94*1331+0,93*1728+0,92*2197+0,91*2744=0,229+2,024+7,614+20,032+43,5+83,59+147,5+244,73+387,1+590+873,14+1259,7+1779,57+2469,6=7908,099
∑βt4=0,914*1+0,913*16+0,912*81+0,911*256+0,910*625+0,99*1296+0,98*2401+0,97*4096+0,96*6561+0,95*10000+0,94*14641+0,93*20736+0,92*28561+0,91*38416=0,229+4,048+22,842+8,0128+217,5+501,55+1032,43+1957,89+3483,89++5900+9604,5+15116,54+23134,41+34574,4=95558,2
∑βxt=0,914*3500+0,913*9600+0,912*15000+0,911*11600+0,910*18250+0,99*20940+0,98*23310+0,97*25360+0,96*27090+0,95*28500+0,94*29590+0,93*30360+0,92*30810+0,91*30940=910+2688+4650+3944+6752,50+8585,40+10489,50+12426,40+14628,60+17100+19529,40+22162,80+24956,10+27846=176668,70
∑βxt2=0,914*3500+0,913*19200+0,912*45000+0,911*46400+0,910*91250+0,99*125640+0,98*163170+0,97*202880+0,96*243810+0,95*285000+0,94*325490+0,93*364320+0,92*400530+0,91*433160=910+5376+13950+15776+33762,50+51512,40+73426,50+99411,20+131657,40+171000+214823,40+265953,60+324429,30+389844=1791832,30
Теперь составляем систему:
 |
20705,45=7,15a+65,3b+684,65с;
176668,70=65,3a+684,65b+7908,099с;
1791832,30 =684,65а+7908,099b+95558,2c.
Параметры а, b и с находим способом определений. Сначала найдём общий определитель
 |
 |
∆ = 7,15 65,3 684,65
65,3 684,65 7908,099
684,65 7908,099 95558,2 = 7,15*684,65*95558,2+684,65*95558,2*7,15+ 684,65*7,15*95558,2-(684,65)3-(7908,099)2*7,15-5,3)2*95558,2=945708,5
После этого определяем частные определители Δа, Δb, Δс:
 |
∆а = 20705,45 65,3 684,65176668,70 684,65 7908,099 = 14512414123