Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления (стр. 3 из 14)

. (10)

Для того чтобы получить необходимый допустимый базис для задачи линейного программирования, добавим формально остаточные искусственные переменные (

). Таким образом, уравнения (10) представляются в виде

(11)

Так как текущее управление

– управление имеет любой знак, то сделаем необходимую замену

Тогда уравнения (11) примут вид

(12)

Введем остаточные переменные в ограничения на управление

(13)

При объединении выражений (12) и (13) получаем

ограничений.

Начальный допустимый базис состоит из остаточных и остаточных искусственных переменных

Формируем целевую функцию (по второму методу выбора начального допустимого базиса)

(14)

б) Решение задачи быстродействия

Предположим, что

, где – оптимальное число шагов. Так как значение нам неизвестно (но известно точно), выбираем некоторое начальное и решаем задачу линейного программирования (12)-(14).

При этом

Общее число столбцов в симплекс-таблице:

Число базисных переменных:

Сформируем

строку. Имеем

Выразим из уравнения (12) начальные базисные переменные

и подставим в целевую функцию. Получим

– строку

(15)

Решаем задачу (12) – (14) симплекс-методом.

В случае,

если

, – малое число

иначе

1) если

увеличить и целое,рвернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования;

2) если

(не все управления будут равны предельным, могут быть, в том числе нулевые)), , уменьшить , вернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования.

Решения данной задачи получено с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт SimplexMetod2.m):

Рис. 14. График фазовой координаты

.

Рис. 15. График фазовой координаты

.

Рис. 16. График

.

Рис. 17. График оптимального управления

.

Выводы: Сравнивая полученные результаты с результатами полученными в ДЗ№2 по СУЛА, можно сделать вывод, что решения совпадают, с точностью до

.

3. Оптимальная L – проблема моментов

3.1 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве «вход-выход»

Укороченная система данного объекта имеет вид:

,

где:

;

;

;

;

;

.

Полюса укороченной передаточной функции:

;

;

;

;

.

Заданы начальные и конечные условия:

, , .

Для определения начальных и конечных условий для

воспользуемся следующей формулой:

,

Где матрица

имеет следующий вид

,

где

, .

ИПФ укороченной системы:

Составим фундаментальную систему решений:

ФСР:

.

Составим матрицу

.

, где – матрица Вронского

,

Тогда

.

Составим моментные уравнения (связь между входом и выходом):

Моментные функции определяются по следующей формуле

Составим моментные функции:

Найдем моменты по следующей формуле:

.

Числовое значение найденных моментов:

Составим функционал качества, который имеет следующий вид:

при условии, что :

, т.е.