Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления (стр. 4 из 14)
Выразим из данного условия
, тогда получим следующее равенство: 
.Подставляя полученное равенство в функционал и заменяя
их правыми частями получаем
Найдем частные производные
и приравняем их к нулю. Решая полученную систему уравнений, определяем оптимальные значения коэффициентов 
, а 
вычислим по формуле .Т.о. имеем:
Минимальная энергия:
Найдем управление по следующей формуле:
Тогда оптимальное управление
. 3.2 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве состояний
Система задана в виде:
Решение ДУ имеет вид:
, при 
имеем: 
.Составим моментные уравнения:
Подставляя необходимые данные в выше приведенные формулы, получим следующие моменты и моментные функции:
Числовое значение найденных моментов:
Моментные функции:
Заметим, что моменты и моментные функции совпадают с моментами и моментными функциями, найденными в пункте (а).
Из этого следует, что функционал, значения 
, управление и минимальная энергия будут иметь точно такие же числовые значения и аналитические выражения, как и в пункте (3.1).
Оптимальное управление имеет вид:
Проверим правильность полученного решения.
Эталонные значения координат в начальный и конечный момент времени:
, 
, 
Найденные значения координат в начальный и конечный момент времени:
, 
, 
Вычислим погрешность полученных результатов:
, 
, 
Ниже представлены графики полученного решения с помощью скрипта Optimal_L_problem_moments.m.
Рис. 18. Графики фазовых координат системы при переходе из
в 
. 
Рис. 19. Графики выходных координат системы при переходе из
в 
. 
Рис.20. График оптимального управления
. Выводы: Задача перевода системы из начальной точки в конечную с помощью L-проблемы моментов в пространстве состояний и в пространстве вход-выход была решена с точностью до 12-го знака после запятой. Результаты, полученные при переводе системы из начальной точки в конечную, полностью совпадают.
4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий – минимизация энергии)
Система имеет вид:
с начальными условиями:
, 
.Составим матрицу управляемости и проверим управляемость системы:
.Составим грамиан управляемости для данной системы:
Найдем грамиан по формуле:
Тогда управление имеет вид:
.или
Ниже представлен график оптимального управления полученного с помощью скрипта Gramian_Uprav.m.:
Рис.21. График оптимального управления
.Графики фазовых координат аналогичны, как и в оптимальной L – проблеме моментов.
Сравним управление, полученное в начальной и конечной точках в пунктах 3 и 4 соответственно:
и 
Выводы: Как видно, значения граничных управлений совпадают. А это значит, что задача перевода объекта из начального состояния в конечное решена с высокой степенью точности и с минимальной энергией.
Графическое сравнение оптимальных управлений из пунктов 3 и 4:
Рис.21. Сравнение графиков оптимального управления
.5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)
5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени
Рассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме
Необходимо получить закон управления
минимизирующий функционал вида
Начальные условия для заданной системы
Моменты времени
фиксированы. Матрицы 
— симметричные неотрицательно определенные: 