Название работы (стр. 5 из 5)

Тогда в I сосуде стало (a+4)л смеси, где чистого вещества (спирта) станет 2,8л+0,9·а л

2,8+0,9а

———— · 100%=p%

а+4

2,8+0,9а р

———— = —— ; 280+90а=ар+4р; 90а-ар=4р-280;

а+4 100

а(90-р)=4р-280

4р-280

а = ——— - столько литров раствора перелили

90-р

4р-280

0< ———— £ 2

90-р

По смыслу задачи р<90, то 90-р>0. Тогда получим, что 0<4р-280£2(90-р)

4р-280>0

4p-280£2(90-p)

4p>280

4p-280£180-2p

p>70

6p£460

p>70

p£76 ²/₃ Þ70<p£76 ²/₃

6.8 Из сосуда ёмкостью 54 л наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? (с 8 кл.)

Решение:

I способ

Пусть в I раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54-х)л кислоты. Значит, в 1л смеси содержится (54-х):54 кислоты (концентрация раствора)

Во II раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве содержится (54-х):54·х л кислоты.

Таким образом, в I раз было вылито х л кислоты, во II – (54-х):54·х л кислоты, а всего за два раза вылито 54-24=30(л) кислоты.

х+(54-х):54·х=30

х₁=18 х₂=90 не удовлетворяет условию задачи

Значит, в I раз вылито 18л кислоты.

II способ

m M aбыло 54л 54л 1

1 раз (54-х)л (54-х+х_H2O)л (54-х):54

2 раз (54-х)л-(54-х):54·х л (54-х+х_H2O)л

Получили уравнение:

(54-х)л-(54-х):54·х=24

(54-х) (54-х)₌₂₄

54

(54-х)²=54·24

(54-х)²=1296

|54-х |=36

54-х=36 или 54-х=-36

х=18 или х=90 (не удовлетворяет условию задачи)

Значит, в I раз вылито 18л кислоты. Ответ:18л

6.9. Сосуд ёмкостью 8л наполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% емкости сосуда. Из этого сосуда выпускают некоторое количество смеси, дополняют сосуд азотом и вновь выпускают такое же количество смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате кислорода в сосуде стало 9%. Сколько литров смеси выпустили из сосуда в первый раз? (с 8кл)

Решение:

Предположим, что каждый раз выпускали х л азота и выпускали х л азота. После первого выпуска в сосуде осталось (8-х)·0,16л кислорода, которые растворились в 8л смеси (после второго выпуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна

(8-х)·0,16

8 , т.е. (8-х)·0,02.

После второго выпуска х л смеси в сосуде осталось (8-х)л смеси с концентрацией кислорода, равной (8-х)·0,02, т.е. (8-х)·(8-х)·0,02 л кислорода, которые растворились в 8л смеси(после второго впуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна (8-х)²·0,02:8, а процентное содержание (8-х)²·0,02:8·100.

Получили уравнение:

(8-х)²·0,02:8·100=9

х=14 или х=2

не удовлетворяет условию задачи

Значит, в первый раз выпустили 2 л смеси.

Ответ: 2 л.

7. Задачи на добавление

7.1. 40кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2кг больше, чем в I сосуде. Если во II сосуд добавить 1кг соли, то количество соли в нем будет в 2 раза больше, чем в I сосуде. Найти массу раствора, находящегося в I сосуде.(с 7кл.)

Решение:

I 40кг II

у кг (40-у)кг

х% соли х% соли

II + 1кг соли, то будет соли в 2р. больше, чем в I

у·0,01·х<(40-у)·0,01х на 2кг

(40-у)·0,01х-0,01ху=2

(40-у)·0,01х+1=2·0,01ху

0,4х-0,01ху-0,01ху=2

0,4х-0,01ху-0,02ху=-1

0,4х-0,02ху=2

0,4х-0,03ху=-1

0,01ху=3

ху=300 х=300:у

4 300 300 2 300

—— · —— - 0,01·у · —— - —— ·у· —— = -1

10 у у 100 у

120:у-9=-1

120:у=8

у=15

Значит, 15 кг – масса раствора, находящегося в I сосуде. Ответ: 15 кг.

7.2 Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если бы к нему добавили некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра? (с 7кл)

Решение:

Пусть в сплаве х г серебра, то меди (х-1845)г. Значит, вес сплава (2х-1845)г.

Добавили ¹/₃х г серебра, масса нового сплава (2¹/₃х-1845)г, в котором 1¹/₃х г серебра.

Значит, в новом сплаве доля серебра:

1¹/₃х

2¹/₃х-1845 или 0,835

⁴/₃х _=0,835; х=2505

⁷/₃х

Масса сплава 2·2505-1845=3165(г)

2505 167

—— · 100%= —— · 100%=79,1%

3165 211 Ответ: 79,1.

7.3.Сплав меди и цинка содержал меди на 640г больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6:7 содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Сколько весил сплав первоначально? (с 7 кл)

Решение:

Пусть в сплаве было х г цинка и (х + 640) г меди. Так как в сплаве осталось 1/7 часть содержащейся в нём меди и 2/5 части цинка, то составим и решим уравнение:

1/7 (х + 640) + 2/5х = 200

(5/1:7×х) + (91×3/7) + (7/2:5×х) = 200

19/35×х = 108×4/7

Х = (760×35) : (7×19)

Х = 200

Значит, цинка было 200г, меди 840г, то сплав весил 200г + 840г = 1040г или 1кг 40г

Ответ: 1кг 40г

7.4. Два раствора, из которых первый содержал 800 г. безводной серной кислоты, а второй -600г. безводной серной кислоты соединили и получили 10кг. нового раствора серной кислоты. Определить вес каждого из растворов вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10 больше, чем процентное содержание кислоты во втором. (с 8кл)

m	М	a
0,800 кг	Х кг
0,600	(10 – х) кг

8(10 – х) – 6х = х(10 – х)

80 – 8х – 6х = 10х – х²

х² – 24х + 80 = 0

х = 12 ± 8

х₁ = 4 х₂ = 20 не удовлетворяет смыслу задачи (х < 10).

Значит, I раствор весит 4 кг, а II – 6 кг.

7.5. Имелось 2 разных сплава меди. Процентное содержание меди в I сплаве на 40% меньше чем во II. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в I и во II сплавах,, если известно, что меди в I сплаве было 6 кг, а во II – 12 кг. (с 8 кл)

1 способ

m	М	a
6 кг		х%
12 кг		(х + 40)%
18 кг		36%

Значит, в I сплаве было 20% меди, во II – 60%.

2 способ

I	II
a кг	b кг
х% меди	(х + 40)% меди

7.6. В сплаве олова и меди содержалось 11 меди. После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова первоначальная масса сплава? (с 8 кл).

Пусть первоначальная масса сплава х кг, в нем 11 кг меди и (х – 11) кг олова.

m	М	a
(х – 11) кг	х кг
(х – 11 + 7,5) кг = (х – 3,5) кг	(х + 7,5) кг

Значит, первоначальная масса сплава 12,5 кг. Ответ: 12,5 кг.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выводы:

1. Работа имеет практическую направленность
2. Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки, т.к. есть возможность сравнить свое решение с предложенным.
3. Выведенные формулы позволяют легко решить задачи на n переливаний с числовыми данными.

9. Список литературы

1. Практикум по решению математических задач. В. Н. Литвиненко. Издательство «Просвещение» 1984 г.
2. Конкурсные задачи по математике. М. К. Потапов. Москва. А. О. «Столетие» 1995 г.
3. Сборник конкурсных задач по математике. В. М. Говоров. Москва. «Наука» 1983 г.
4. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.И.Сканави Москва .1996 г.
5. Сборник задач по алгебре. П. А. Ларичев. Москва «Просвещение» 1965 г.
6. Алгебра. Задачник. В.В.Вавилов.Москва. Издательский дом «Дрофа»
7. 1996 г.
8. Алгебра 8. Задачник. А.Г.Мордкович. Москва. «Мнемозина» 2007 г.
9. Интенсивный курс подготовки к тестированию и экзамену. С.В. Процко Минск. ТетраСистемс. 2005 г.
10. Математические олимпиады 5- 6 класс. А.В. Фарков. Издательство «ЭКЗАМЕН» Москва, 2006г.
11. Сборник заданий для проведения итоговой аттестации пи математике. Санкт-Петербург СМИО Пресс 2001г.
12. Старинные занимательные задачи. С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко. Москва. «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1985 г