Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси (стр. 2 из 5)

Продифференцировав выражения (5) по t, подставим значения производных в уравнениях (4). Принимая во внимание формулы (5), получаем систему уравнений относительно производных, новых переменных а и φ:

(6)

разрешая систему (6) относительно

и

, находим систему уравнений:

(7)

Система дифференциальных уравнений (7) эквивалентна рассматриваемой исходной системе (4) или, что то же самое, уравнению (1) .

Из системы (7) видно, что медленные и быстрые движения для

разделены.

Усредняя правые части системы (7) мы получим (8):

(8)

где принято обозначение

Таким образом, «укорочёнными уравнениями» для системы (7) являются уравнения (3), где

(9)

Уравнения (8) будем называть укороченными уравнениями или уравнениями Ван-дер-Поля. Они значительно проще исходной системы (7), поскольку первое уравнения может быть проинтегрировано независимо от второго. В системе (8) медленные и быстрые движения для

разделены.

Интегрируя первое из уравнений этой системы, мы находим закон изменения амплитуды. Очень часто в прикладных задачах бывает достаточно найти только зависимость амплитуды от времени. В рассматриваемой теории для этого достаточно найти решение уравнения первого порядка (в общем случае нелинейного).

Определение фазы сводится к квадратурам. Наибольший интерес обычно представляет не сама фаза, а скорость ее изменения в зависимости от амплитуды. Ответ на этот вопрос дает непосредственно второе уравнение системы (8).

Итак, метод Ван-дер-Поля решения уравнения (1) состоит в переходе от переменной х и y к переменным а и

(которые мы будем называть переменными Ван-дер-Поля) и к замене точных уравнений (7) укороченной системой (8).

Система (8) позволяет найти возможные стационарные (автоколебательные) режимы, т.е. режимы, при которых амплитуда остается неизменной. Полагая

, находим, что стационарная амплитуда должна быть корнем трансцендентного уравнения

(10)

Заметим, что уравнение (10) совпадает с одним из тех уравнений, которое мы получили бы, если бы рассматривали уравнение (1) как квазилинейное и разыскивали периодические решения методом Пуанкаре.

Трансцендентное уравнение (10) может совсем не иметь действительных решений. Это будет означать, что в системе стационарные колебания невозможны. Уравнение (10) может иметь одно или несколько решений, в случаях консервативных систем оно удовлетворяется тождественно. В самом деле, в этом случае функция f зависит только от переменной x, поэтому уравнение (10) примет вид:

(10а)

Так как

, то под знаком интеграла стоит полный дифференциал:

Обозначим через F

— неопределенный интеграл .

Тогда

,

то есть уравнение (10а) удовлетворяется тождественно по

.

Обоснование метода Ван-дер-Поля

Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.

Рассмотрим систему стандартного вида

(s=1,2) (1)

Уравнение Ван-дер-Поля также можно привести к системе стандартного вида:

(2)

Сделаем замену

,

тогда:

(3)

Будем считать

= .

Среднее значение функции

за период 2 :

При этом усреднении интегрирование ведется по третьей переменной t в предположении, что

и от t не зависят.

Наряду с точной системой рассматривается приближенная

, (s=1,2).

Обе системы, приближенная и точная, решаются при начальных условиях

(4)

Для задач Коши (1) и (4), (3) и (4) справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных

функции непрерывны и ограничены. Функции также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным и (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для и L>0:

(5)

0

(6)

Доказательство:

Решение задач Коши (1) и (4), (3) и (4) существует и единственно. Поэтому решение (1) и (4) будем искать методом приближений.

Обозначим

(*)

Функция

— 2 -периодическая по .

Пусть

(7)

удовлетворяет условиям Липшица по переменным и . Проинтегрируем функцию :

.

Интеграл

и поэтому

(7a)

В промежутке

находятся те значения t, для которых будет существовать решение (1) - (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это характеризуется так