Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси (стр. 4 из 5)
необходимо согласовывать с 
с помощью (21) и 
Решение уравнения
Рассмотрим уравнение
(1)Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некоторая действительная постоянная, а ε – малый параметр.
Делаем в уравнении (1) замену:
тогда получим систему
(2)Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и
, полагая здесь и далее 
, согласно формулам
(3)Далее, дифференцируем (3) по t, считая
и φ 
. 
(4)Подставим (4) в (2), учитывая (3).
(5)Разрешим эту систему относительно
Домножим второе уравнение на
,тогда имеем:
(6)Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид
(7)В системе (7)
и 
имеют вид: 
то есть
Таким образом имеем
или 
(8)Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):
Умножим обе части равенства на
: 
.Сделаем замену
,умножаем обе части равенства на
: 
Так как
,то тогда
,или
Предположим, что
, тогда 
; 
; 
+ 
.Отсюда находим
(9а)Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде)
(9)Найдем
Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение
, малое или большое, все равно 
при 
.Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды
=0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе.Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным
. Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается.Из выражения (9) следует, что если
, то 
, и для любых 
очень быстро приближается к значению 
независимо от 
. Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму: 
(10)Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.
Режимы с постоянной амплитудой, для
, приводят к уравнениюА
= 
=0 
.Корни этого уравнения
; 
; 
<0 
Таким образом,
соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а 
соответствует устойчивому предельному циклу.Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра
всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра 
, для которого уравнение (1) или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в 
окрестности окружности 
, причем этот предельный цикл устойчив, если 
, и неустойчив, если 
. Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.