Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси (стр. 3 из 5)

Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение сходится к решению задачи Коши:

— целую часть от деления обозначим N. Тогда

— дробная часть

где

— остаточный интервал.

С учетом возможности такого разбиения

Если рассмотреть

, то последнее выражение перепишется в виде:

где с учетом (4)

Рассмотрим интеграл при

от

не зависят. Из равенств (7а) следует, что последнее выражение равно нулю

Вычислим

То есть

(8)

Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы

Так как

то последнее неравенство равносильно следующему:

Поэтому:

, (9)

где

(10)

— удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем воспользоваться этим, переходя к оценкам

(11)

(12)

Пусть

, причем

, тогда:

(13)

Оценим

(14)

Фактически нужно оценить величину

Используем условие Липшица для

, тогда последнее неравенство

(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)).

(15)

(16)

Можно увидеть следующую закономерность

(17)

По методу математической индукции, для

оценки верны. Покажем их справедливость и для

Используя формулу (13), далее получим:

(18)

Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при

(19)

Обозначим через

Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G.

— по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть

В силу плотности числовой прямой

, где

(20)

Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь оценками (19) и (20), имеем:

Возьмем

тогда

Аналогично проверяем второе приближение

Возьмем

, тогда

И если

если

Если мы перейдем к перейдем к пределу при

, то получим:

(21)

Если мы

будем выбирать из условия (21), то использование условия Липшица законно.