1.1.17. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 3 часов, по крайней мере, 2-е нуждаются в общей чистке механизма?
1.1.18. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся 3 книги. Какова вероятность того, что среди них хотя бы 1 книга по теории вероятностей?
1.1.19. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено:
а) 4 билета; б) 2 билета?
1.1.20. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что:
а) все 3 детали без дефектов;
б) по крайней мере, одна деталь без дефектов?
1.1.21. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они:
а) разных цветов;
б) одного цвета?
1.1.22. Из 20 сбербанков 10 расположено за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных в черте города окажется:
а) 3 сбербанка; б) хотя бы один сбербанк?
1.1.23. В первой урне 5 красных, 3 белых и 2 черных шара, во второй – 3 белых и 2 черных шара. Из первой урны наудачу взяли 2 шара, а из второй – 1 шар. Какова вероятность того, что среди отобранных:
а) все шары одного цвета; б) все шары разного цвета?
1.1.24. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число кратно 2 или 5.
1.1.25. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы мощностью 100 Вт – 7 штук, 75 Вт – 13 штук. Вынуты наудачу 3 лампы. Какова вероятность того, что:
а) все лампы одинаковой мощности;
б) хотя бы 2 из них по 100 Вт?
1.1.26. Для того чтобы сдать коллоквиум, студент должен ответить не менее двух из трех вопросов, предложенных преподавателем. Студент не знает 8 вопросов из 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?
1.1.27. Студент из 40 экзаменационных билетов выучил только 30. Каким выгодней ему зайти на экзамен – первым или вторым?
1.1.28. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?
1.1.29. Какова вероятность того, что при бросании трех игральных кубиков хотя бы на одном из них появится цифра 3?
1.1.30. В мастерской два мотора работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,9; для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.
1.1.31. Консультационная фирма получила приглашение для выполнения двух работ от двух компаний. Руководство фирмы оценивает вероятность получения заказа от фирмы А (событие А) равной 0,45. Также, по мнению руководителей фирмы, в случае, если фирма заключит договор с компанией А, то с вероятностью в 90% компания В даст фирме консультационную работу. С какой вероятностью фирма получит оба заказа?
1.1.32. Производится бомбометание в военный объект. Вероятность попадания в цель при сбрасывании бомбы равна 0,7, а вероятность того, что бомба не взорвется, равна 0,08. Найти вероятность разрушения объекта, если будет сброшена одна бомба.
1.1.33. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найти вероятность получения детали без брака после трех операций, предполагая, что получение брака на отдельных операциях является независимым событием.
1.1.34. Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо друг от друга, может выйти из строя. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,9; второго – 0,95; третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.
1.1.35. При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событием независимым, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции – 0,02; на второй – 0,01; на третьей – 0,02; на четвертой – 0,03.
1.1.36. Два стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6; для второго – 0,7. Какова вероятность, по крайней мере, одного попадания в цель, если каждый сделает по одному выстрелу?
1.1.37. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85; из второго – 0,9. Найти вероятность поражения цели.
1.1.38. Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу.
Найти вероятность того, что:
а) оба студента правильно ответят на вопрос;
б) хотя бы один ответит верно;
в) правильно ответит только первый студент.
1.1.39. В первой команде 6 спортсменов, во второй – 9. В каждой команде одна девушка. Из каждой команды выбирают спортсмена.
Какова вероятность того, что:
а) выбраны оба юноши;
б) выбрана одна девушка;
в) из второй команды выбран юноша?
1.1.40. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75; при втором – 0,8; при третьем – 0,9. Определить вероятность того, что будет:
а) три попадания;
б) хотя бы одно попадание.
1.1.41. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.
1.1.42. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:
а) только второй экзамен;
б) только один экзамен;
в) три экзамена;
г) по крайней мере, два экзамена;
д) хотя бы один экзамен.
1.1.43. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9; для второго – 0,8 и для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа:
а) ни один станок не потребует внимания рабочего;
б) все станки потребуют внимания рабочего.
1.1.44. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна 0,9; второго – 0,95; третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t прибор выйдет из строя.
1.1.45. Студент ищет нужную ему формулу в трех справочника. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равна соответственно 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится не менее чем в двух справочниках.
1.1.46. Экспедиция издательства отправила газеты в 3 почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95; во второе отделение – 0,9; а в третье отделение – 0,8. Найти вероятность того, что:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получи газеты с опозданием.
1.1.47. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям первого предприятия равна 0,2; второго – 0,35; третьего – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий получит высокие дивиденды:
а) на всех предприятиях;
б) только на одном предприятии;
в) хотя бы на одном предприятии.
1.1.48. Читатель в поисках нужной книги обходит три библиотеки. Вероятность того, что книга имеется в очередной библиотеке, равна 0,3. Что вероятнее: найдет читатель книгу или не найдет?
1.1.49. На предприятии имеется три автомобиля. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого из них равна 0,9; второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятности всех возможных значений числа автомобилей, работающих безотказно в течение времени t.
1.1.50. Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна 0,6. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на следующий выстрел по второй мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,3. Найти вероятность поражения второй мишени.
1.1.51. Вероятность одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий равна 0,44. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
1.1.52. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,784. Найти вероятность одного промаха при трех выстрелах.
1.2. Формула полной вероятности. Формула Байеса
1.2.1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% – из первого и 30% – из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка окажется без дефектов.
1.2.2. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев работы прибора, ненормальный – в 10%. Вероятность выхода прибора из строя за время T в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,6. Найти вероятность выхода прибора из строя за время T.
1.2.3. Число пассажирских пароходов, проплывающих по реке мимо навигационного знака, относится к числу грузовых пароходов как 2:5. Вероятность того, что знак будет сбит пассажирским пароходом, равна 0,01; а грузовым пароходом – 0,03. Найти вероятность того, что знак не будет сбит проходящим пароходом.
1.2.4. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6; а для второго – 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
1.2.5. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй – 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную работу, написана студентом первой группы.