«Анализ модели множественной линейной регрессии» (стр. 2 из 7)

2.2 Обнаружение гетероскедастичности

Очень часто появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть заранее, основываясь на знании характера данных. В таких случаях можно предпринять соответствующие действия по устранению этого эффекта на этапе спецификации модели регрессии, и это позволит уменьшить или, возможно, устранить необходимость формальной проверки. К настоящему времени для такой проверки предложено большое число тестов (и, соответственно, критериев для них). Мы рассмотрим три обычно используемых теста (критерия), в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и величиной объясняющих переменных: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфелда—Квандта и тест Глейзера.

Тест ранговой корреляции Спирмена

При выполнении теста ранговой корреляции Спирмена предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшаться по мере увеличения

, и поэтому в регрессии, оцениваемой с помощью МНК; абсолютные величины остатков и значения объясняющих переменных будут коррелированы. Данные по и остатки упорядочиваются, и коэффициент ранговой корреляции определяется как

, (2.2.1)

где

— разность между рангом и рангом е.
Если предположить, что коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то коэффициент ранговой корреляции имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией в больших выборках. Следовательно, соответствующая тестовая статистика равна , и при использовании двустороннего критерия нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена при уровне значимости в 5%, если она превысит 1,96, и при уровне значимости в 1%, если она превысит 2,58.

Применим тест ранговой корреляции Спирмена к нашей модели. Для простоты изложения подробные расчеты приведены лишь для

.

упорядоченная х1	ранг	упорядоченная |e|	ранг	D
-1,849459746	7	0,008280966	8	-1	1
-1,388153599	3	0,024533337	2	1	1
-1,270872375	1	0,066601421	18	-17	289
-1,239597381	2	0,109125921	7	-5	25
-1,106678661	5	0,109137124	20	-15	225
-1,091041164	12	0,115128486	15	-3	9
-1,059766171	6	0,129180745	12	-6	36
-0,856478716	4	0,179692968	24	-20	400
-0,137153876	17	0,184931495	17	0	0
-0,082422638	22	0,200673797	10	12	144
-0,07460389	11	0,274351484	22	-11	121
0,050496083	9	0,321946398	23	-14	196
0,292877279	20	0,328435011	1	19	361
0,535258475	14	0,365273023	11	3	9
0,535258475	19	0,39452205	6	13	169
0,566533468	15	0,458740222	14	1	1
0,60562721	8	0,54427352	16	-8	64
0,746364678	16	0,616338961	19	-3	9
0,769820923	21	0,64321145	5	16	256
0,840189658	24	0,649611436	13	11	121
1,082570854	18	0,725844891	9	9	81
1,184214581	13	0,74336366	4	9	81
1,27803956	10	1,186499516	21	-11	121
1,668976974	23	1,47627288	3	20	400
коэффициент ранговой корреляции Спирмена			-0,356521739		3120
тестовая статистика			-1,709818195

(тестовая статистика для =1,447090034)

(тестовая статистика для =0,796525062)

(тестовая статистика для =0,492094017)

Т.к. статистики по модулю меньше 1,96, то при уровне значимости 0,05 нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии гетероскедастичности.

Тест Голдфелда-Квандта

Вероятно, наиболее популярным формальным критерием является критерий, предложенный С. Голдфелдом и Р. Квандтом . При проведении проверки по этому критерию предполагается, что стандартное отклонение (

) распределения вероятностей пропорционально значению в этом наблюдении. Предполагается также, что случайный член распределен нормально и не подвержен автокорреляции.

Все

наблюдений в выборке упорядочиваются по величине , после чего оцениваются отдельные регрессии для первых и для последних наблюдений; средние наблюдений отбрасываются. Если предположение относительно природы гетероскедастичности верно, то дисперсия и в последних наблюдениях будет больше, чем в первых и это будет отражено в сумме квадратов остатков в двух указанных «частных регрессиях. Обозначая суммы квадратов остатков в регрессиях для первых и последних наблюдений соответственно через RSS1 и RSS2, рассчитаем отношение RSS2/RSS1, которое имеет Г-распределение с ( — k— 1) и ( —k— 1) степенями свободы, где k — число объясняющих переменных в регрессионном уравнении. Мощность критерия зависит от выбора отношению к n. Основываясь на результатах некоторых проведенных ими экспериментов, С. Голдфелд и Р. Квандт утверждают, что должно составлять порядка 11, когда n= 30, и порядка 22, когда n = 60.