«Анализ модели множественной линейной регрессии» (стр. 3 из 7)

Метод Голдфелда—Квандта может также использоваться для проверки гетероскедастичность при предположении, что

, обратно пропорционально . При этом используется та же процедура, что и описанная выше, но тестовой статистикой теперь является показатель RSS1/RSS2, который вновь имеет Г -распределение с ( — k— 1) и ( —k— 1) степенями свободы.

Применим метод Голдфелда-Квандта к нашей модели. Для простоты изложения подробные расчеты приведены лишь для

(см. Приложение 3).

Для

RSS2/RSS1

0,631458

RSS1/RSS2

1,583637

Для

RSS2/RSS1

0,622567

RSS1/RSS2

1,606252

Для

RSS2/RSS1

0,894035

RSS1/RSS2

1,118524

Тест Глейзера

Тест Глейзера позволяет несколько более тщательно рассмотреть характер гетероскедастичности. Мы снимаем предположение о том, что

, пропорционально , и хотим проверить, может ли быть более подходящей какая-либо другая функциональная форма, например

(2.2.2)

Чтобы использовать данный метод, следуёт оценить регрессионную зависимость у от Х с помощью обычного МНК, а затем вычислить абсолютные величины остатков

по функции (2.2.2) для данного значения Можно построить несколько таких функций, изменяя значение . В каждом случае нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена, если оценка значимо отличается от нуля. Если при оценивании более чем одной функции получается значимая оценка , то ориентиром при определении характера гетероскедастичности может служить наилучшая из них.
Применим тест Глейзера к нашей модели. Для простоты изложения расчеты приведены лишь для .

	-2	-1	1	2
a	0,39599	0,411648	0,410665	0,411491
S(a)	0,081442	0,075325	0,07601	0,113293
b	0,000437	0,010412	-0,03746	-0,00086
S(b)	0,000869	0,012965	0,077645	0,087282
	0,011384	0,028482	0,010471	0,00000443
F	0,253322	0,644972	0,232788	0,0000974

Статистически значимых оценок получить не удалось. Дальнейший перебор гамма в данной работе не целесообразен, так как остальные критерии указывают на отсутствие гетероскедастичности. По той же причине не рассматривается тест Глейзера для остальных переменных.

Вывод: в результате применения теста ранговой корреляции Спирмена, метода Голдфельда-Квандта и теста Глейзера мы пришли к выводу, что нет основания отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в нашей модели.

3. Автокорреляция

3.1 Автокорреляция и ее последствия

Автокорреляция – нарушение третьего условия теоремы Гаусса-Маркова. Последствия автокорреляции в некоторой степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Коэффициенты регрессии остаются несмещенными, но становятся неэффективными, и их стандартные ошибки оцениваются неправильно (вероятно, они смещаются вниз, т. е. занижаются). Автокорреляция обычно встречается только в регрессионном анализе данных временных рядов.

3.2 Обнаружение автокорреляции первого порядка: критерий Дарбина-Уотсона

Начнем с частного случая, в котором автокорреляция подчиняется авторегрессионной схеме первого порядка:

(3.2.1)

Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении, умноженному на

, плюс новый . данная схема оказывается авторегрессионной, поскольку е определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и схемой первого порядка, потому что в этом простом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если положительно, то автокорреляция положительная; если отрицательно, то автокорреляция отрицательная. Если = 0, то автокорреляции нет и третье условие Гаусса—Маркова удовлетворяется. Конечно, мы не располагаем способом измерения значений случайного члена, поэтому мы не можем оценить регрессию (3.1.1) непосредственно. Тем не менее
мы можем оценивать путем оценивания регрессионной зависимости

е, от

с использованием обычного МНК. При этом оценка равна

. (3.2.2)

Так как среднее значение Т остатков равно нулю,

(среднее значение остатков в наблюдениях от 1 до Т— 1) и (среднее значение остатков в наблюдениях от 2 до Т) будут близки к нулю, если выборка достаточно велика, и и будут аппроксимироваться выражениями
и , соответственно.

Кроме того,

будет приблизительно равно . Следовательно,
аппроксимируется выражением .

Широко известная статистика Дарбина—Уотсона определяется следующим образом:

(3.2.3)

Если автокорреляция отсутствует, то

= 0, и поэтому величина DW должна близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина DW, вообще говоря, будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она, вообще говоря, будет превышать 2. Так как должно находиться между значениями 1 и —1, то DW должно лежать между 0 и 4.
Критическое значение DW при любом данном уровне значимости зависит, как можно предполагать, от числа объясняющих переменных в уравнении регрессии и от количества, наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэтому невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, как это можно сделать для t и F-статистик; можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения. Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как и .