Управление сложными системами (стр. 12 из 14)

Рассмотрим систему второго порядка:

Поиск методом Фадеева:

1)

, в котором неизвестны a₁ и a₀.

2) а)

б)

в)

3) а)

б)

в) Контроль:

Во-вторых,

отличен от определителя системы (III^*)

Для расчёта коэффициента этого определителя можно использовать найденные значения коэффициентов a_i.

Пусть

(3)

(4)

Если подать на вход исходной системы (III^*) какой-либо известный входной сигнал y_p[iT], i = 0, 1, 2, … при нулевых остальных входных сигналах y₁[iT]= y₂[iT]=…= y_p-1[iT]= y_p+1[iT]=…=0 и при нулевых начальных условиях x₁[0]=x₂[0]=…=0, то путём непосредственных расчётов по системе (III^*) (смотри задачу семинара №2) можно последовательно получить значения x[T], x[2T], …, x[iT].

Если подать тот же самых сигнал Y_p на вход разностного уравнения (4) при нулевых начальных условиях (x[0]=x[–T]=…=0), то дискреты x_q[iT] уравнения (4) совпадут с сигналами x_q[iT] вектора X[iT], расcчитанного по уравнению (III^*).

Тогда можно показать, что:

при входном сигнале

(*)

(5)

Пример № 5.

Рассмотрим систему второго порядка, своего рода (III^*) при n=2.

Для системы второго порядка определить дискретную передаточную функцию

при нулевых начальных условиях.

Решение:

1) det(z) определён в примере № 4.

2) Составляем разностное уравнение p=2, n=2, q=1:

(4΄)

3) Рассчитываем переходный процесс по исходной системе (III^*) при n=2:

i=0

(смотри условие (*)).

i=1

4) Определяем коэффициенты:

.

Лекция №12. 25.03.2003

5.5 Частотные характеристики

5.5.1 Непрерывные системы

Рассмотрим ММ стационарной непрерывной системы:

(1)

Пусть

На основе формулы Эйлера (

):

, начальные условия нулевые.

При нулевых начальных условиях решение уравнения (1) можно получить в виде двух слагаемых x(t)=x₁(t)+x₂(t).

При этом с учётом принципа суперпозиции: x₁(t)

y₁(t), x₂(t)

y₂(t).

Найдём x₁(t):

, где W — пока неизвестная и не зависящая от времени функция.

Подставляя в уравнение (1) x₁, y₁ и их соответствующие производные, получим:

… (2)

Комплексно-частотную характеристику системы

можно получить передаточной функции путём замены переменной (смотри уравнение (1) раздела 5.1.1.).

Комментарий:

, … (3)

— вещественная частотная характеристика; — мнимая частотная характеристика

Здесь:

Смотри методические указания, страница 18.

, … (4)

где

— Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).

— Фазово-частотная характеристика (ФЧХ).

Пример смотри в методических указаниях, рисунки 11 и 12.

При изменении

конец вектора описывает кривую, называемую АФХ — амплитудно-фазовая характеристика или Катографом Найквиста (Рисунок 21 методических указаний).

Физический смысл частотной характеристики: частотная характеристика — результат анализа вынужденного движения линейной стационарной системы при гармоническом воздействии.

Таким образом,

.

Аналогично можно определить составляющую

воздействия y₂(t).

То есть

.

… (5)

Таким образом, если на входе рассматриваемой системы действует гармонический входной сигнал, то выходной сигнал будет также гармоническим (Формула (5)) и отличающимся от входного по амплитуде в

раз, а по фазе на . Здесь — АЧХ, а — ФЧХ.

Замечание № 1:

Так как АФХ симметрична относительно вещественной оси

для положительных и отрицательных значений , то обычно ограничивают диапазон изменения : .