Математический анализ (стр. 4 из 8)
Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.
Доказательство:
Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n0 |хN-х|<Е/2. n>n0, n’>n0 |хN-хN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е
Достаточность: Пусть хN - фундаментальная
1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хN-хN’|<Е, n>n0, n’>n0
"n>n0 |хN-хN0|<Е1 х N0-1998<хN<х N0+1998 => хN - ограничена
2) По теореме Больцано-Вейерштрасса
$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK-х|<Е/2 и одновременно nк>n0. Следовательно (из фунд-ти) |хN-хNK|<Е/2 =>
|хNK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хN-хNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хN<хNK+Е/2 => х-Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е
14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.
Формула Ньютона для бинома:
nÎN 
Разложение Паскаля 
(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)...
*:
к=0,1,...,nДоказательство(по индукции):
1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>
(1+х)0 = 2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:
= 
Ч.т.д 
16.Последовательности 
(во всех пределах n®¥)
1) Lim
= 0 (p>0) 
- это означает что, мы нашли такое n0= 
: "n>n0 | |<E2) Lim
=1xN=
- 1 =1+xNn=(1+xN)n
n=
xN2<2/(n-1)
При n®¥ 
®0 => xN®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim =Lim (1+xN)=1+0=116.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.
xN=
; yN= 
; zN=yN + 
xN монотонно возрастает: докажем:
xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN =>yN<zN<3
Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n³1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):
x=1/n => (1+1/n)n³1+n/n=2
Получили: 2 £ xN<3 => xN - ограничена, учитывая что xN - монотонно возрастает => xN - сходится и ее пределом является число е.
17. Последовательности 
(во всех пределах n®¥)
1) Lim
=1, a>0a) a³1:
xN=
xN+1= 
=> $ Lim xN=xxN+1=xN *
xN=xN+1 *
xN=xN+1*xN*(n+1)
Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1
б) 0<a<1 b=1/a xN=
Lim
=1 b=1/a => = 1/ => Lim = 1/1 = 12) Lim
= 0, a>1xN=
xN+1= 
т.к. Lim 
= Lim 
=Lim 
=1 
=> $ n0: "n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxnxN+1=xN*
Lim xN+1 = Lim xN*
=> x = x*1/a => x=0Докажем, что если xN®1 => (xN)a®1:
a) "n: xN³1 и a³0
(xN) [a]£(xN)a<(xN)[a]+1 => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (xN)[a]=Lim (xN)[a]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN)a =1
б) "n: 0<xN<1 и a³0
yN=1/xN => yn>1 Lim yN=lim1/xN=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN)a =1 => lim 1/(xN)a =1 => Lim (xN)a =1
Объединим (а) и (б):
xN®1 a>0
xN1,xN2,...>1 (1)
xM1,xM2,...<1 (2)
Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек xN.
в) a<0
(xN)a =1/(xN)- aa<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(xN)- a = 1 => Lim (xN) a = 1
15. Доказательство формулы e=...
yN=
; zN=yN + 1) yN монотонно растет
2) yN<zN
3) zN-yN®0
4) zN монотонно убывает
Доказателство:
zN-zN+1 = yN +
- yN+1 - 
= 
+ 
- = 
2=y1<yN<zN<z1=3
e= Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN<e<zN = yN + 1/(n*n!)
Если через qN обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = yN + qN/(n*n!), qÎ(0,1)
Число e иррационально:
Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mÎZ, nÎN
m/n = e = yN + qN/(n*n!)
m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ÎZ, (qN/n)ÏZ => противоречие
23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.
Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е
Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х0 если " последовательности хN®х0, хN¹х0 f(xN)®А