Доказательство: Пусть у1,у2ÎУ; у1£у£у2, тогда существуют х1,х2ÎХ: у1=f(х1), у2=f(х2). Применяя теорему к отрезку [х1,х2]ÍХ (если х1<х2) и к отрезку
[х2,х1]ÍХ (если х2<х1) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.
29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций
Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.
Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при x®a)
Доказательство:
Пусть xN: xN¹a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN: yN=g(xN) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(yN)=f(b) (n®¥) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n®¥). Заметим что в посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yN¹b в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)®f(b)
Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f непрерывна в точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х0.
30. Обращение непрерывной монотонной функции.
Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уÎf(Х).
Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у0 - называется обратной к функции f.
Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,
определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.
Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х0ÎХ, что f(х0)=у0. Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х1> или <х0, то соответственно и f(х1)> или <f(х0). Сопоставля именно это значение х0 произвольно взятому у0 из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f => у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы
было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.
Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0) при у®у0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно Е>0. Имеем "уÎУ: |f`(у)-f`(у0)|<Е <=> х0-Е<f`(у)<х0+Е <=> f(х0-Е)<у<f(х0+Е) <=> f(х0-Е)-у0<у-у0<f(х0+Е)-у0 <=> -d’<у-у0<d”, где d’=у0-f(х0-Е)>у0-f(х0)=0, d”=f(х0+Е)-у0>f(х0)-у0=0,
полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0|<d => -d’<у-у0<d” <=> |f`(у)-f`(у0)|<Е
Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:
Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция хM/N - где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM и х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна при х>0. Если х=0, то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.
Рассмотрим ф-цию хN, nÎN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.
n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая что:
1) 1/х - непрерывная функция при х¹0
2) хN (nÎN) - тоже непрерывная функция
3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х¹0
По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N - непрерывная при х¹0, т.о. получили что хMmÎZ - непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0ф-ция хN nÎN строго монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>$ функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х1/N
Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны
31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.
Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎQ.
Свойства: для mÎZ nÎN
1) (аM)1/N = (а1/N)M
(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M
2) (аM)1/N=b <=> аM=bN
3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N
(аM*K)1/N*K=b <=> аM*K=bN*K <=> аM=bN <=> (аM)1/N=b
Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)M,a-M/N=1/aM/N, а0=1
Св-ва: x,yÎQ
1) aX * aY = aX+Y
aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/aK/N = b => aM/N = b * aK/N => aM = bN * aK => aM-K = bN => a(M-K)/N = b => aX+Y = b
2) aX/aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y
(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)M*K=bS => (aM*K)1/N=bS => aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => aX*Y=b
4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность
z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0, то aX<aY.
z=m/n => aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)
5) при x®0 aX®1 (xÎR)
Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0 1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0, то
a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)
32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.
Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎR.
Свойства: x,yÎR.
1) aX * aY = aX+Y
xN®x, yN®y => aXn * aYn = aXn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn => Lim aXn * lim aYn = Lim aXn+Yn => aX * aY = aX+Y
2) aX / aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y
xN®x, yK®y => (aXn)Yk= aXn*Yk=> (n®¥) (aX)Yk=aX*Yk=>(k®¥) (aX)Y=aX*Y
4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность.
x<x’ x,x’ÎR; xN®x x’N®x’ xN,x’NÎQ => xN<x’N=> aXn < aX’n=> (n®¥) aX£aX’- монотонна
x-x`>q>0 => aX-X’ ³ aQ>1 => aX-X’¹1 => aX<aX’ - строго монотонна
5) при x n®0 aX®1
Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0 1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0, то
a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)
6) aX - непрерывна
Lim aX=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в точке 0 => aX-aXo= aXo(aX-Xo - 1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX-x0 n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo)=
Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна
33.Предел функции (1+x)1/X при x®0 и связанные с ним пределы.
1) Lim (1+x)1/X = e при x®0
У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®¥
Лемма: Пусть nK®¥ nKÎN Тогда (1+1/nK)Nk®e
Доказательство:
"E>0 $k0: "n>n0 0<e-(1+1/n)n<E => nK®¥$ k0: "k>k0 => nK>n0 => 0<e-(1+1/nk)Nk<E
Lim (1+xK)1/Xk при x®0+:
1/xK=zK+yK, zKÎN => 0£yK<1 => (1+1/zK+1)Zk<(1+xK)1/Xk< (1+1/zK)Zk+1=(1+1/zK)Zk*(1+1/zK)=>(1+1/zK+1)Zk=(1+1/zK+1)Zk+1)/(1+1/zK+1) => (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®¥ учитывая, что: (1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем:
e£Lim (1+xK)1/Xk£e => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+
Lim (1+xK)1/Xk при x®0-:
yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x®0-
Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0
2) n®¥ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX
3) x®xaaÎR - непрерывна
xa=(eLn x) a=ea*Ln x
непр непр непр непр
x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x
4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1
4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a
5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1
5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a
6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a
34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.