Математический анализ (стр. 5 из 8)

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

"Е>0 $d>0: 0<|х-х₀|<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

х_N®х₀, х_N¹х₀, т.к. х_N®х₀ => $ n₀: "n>n₀ 0<|x_N-x₀|<Е (Е=d) => 0<|x_N-x₀|<d => по определению Коши |f(x_N)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0<|x-x₀|<d => |f(x)-A|³E

Отрицание (Г): $ х_N®х₀, х_N¹х₀: |f(x_N)-A|³E

$ х_N®х₀, х_N¹х₀ => $ n₀: "n>n₀ 0<|x_N-x₀|<Е (Е=d) => по отрицанию определения Коши |f(x_N)-А|³Е

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+¥), определяется предел при х_N®¥ следующим образом: limf(х) при х_N®¥ = Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при х_N®-¥ = Lim f(1/t) t®-0 и х_N®¥ = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х₀±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х₀

Теорема: Пусть интервал (x₀-d,x₀+d)&bsol;{x₀} принадлежит области определения ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х₀ существует <=> когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х₀ и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $d >0: -d<х-х₀<d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-окрестность точки x₀ сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x₀+d) => x попадает в интервал (x₀-d,x₀+d) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x₀-d,0) => x попадает в интервал (x₀-d,x₀+d) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х₀±|h|) при h®0: Lim(х₀+|h|) = Lim(х₀-|h|)=А

"Е>0 $d’ >0: 0<х-х₀<d’ => |f(х)-А|<Е

"Е>0 $d” >0: -d”<х-х₀<0 => |f(х)-А|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ если при х®х₀ Lim f(х)=f(х₀). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х₀) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х_0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х₀)|<Е выполнено и при х=х₀ => в определении можно снять ограничение х¹х₀ => получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение х¹х₀ - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если " посл-ти х_N®х₀, f(x_N)®f(a)

Если при х®х₀ limf(х)¹f(х₀), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х₀. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х₀

б) Предел f(х) в точке х₀ не существует

в) f(х) определена в х₀ и limf(х) в точке х₀ существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х₀)

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х₀ совпадают, то х₀ называют устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х₀ - точка бесконечного разрыва.

Пусть x₀ - точка разрыва, x₀ называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х₀ совпадает со значением f(x₀), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х₀ не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х₀), то говорят что функция f(x) имеет в точке х₀ разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х₀.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х₀: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХÍR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G

2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3) Если G¹0 и g(x)¹0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х₀<d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-х₀<d” => |g(х)-G|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х₀<d =>-Е/2 - Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е

2) Пусть посл-ть х_N®х₀ (х_N¹х₀, x_NÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(x_N)=F & Lim g(x_N)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(x_N)*g(x_N)=Lim f(x_N)*Lim g(x_N)= F*G => по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть х_N®х₀ (х_N¹х₀, x_NÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(x_N)=F & Lim g(x_N)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(x_N)/g(x_N)=Lim f(x_N)/Lim g(x_N)=F/G => по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G¹0 и g(x)¹0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x), при х®х₀ A=Lim f(x), B=Lim g(x), то A£B

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): $d’>0: |х-х₀|<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х₀|<d” => |g(х)-B|<Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х₀|<d => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)Ç(В-Е,В+Е)=Æ, получаем что для

хÎ(х₀-d, х₀+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) и при х®х₀ Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

"Е>0 $d’>0: |х-х₀|<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х₀|<d” => h(х)<A+Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х₀|<d => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) => A-E<f(x)£g(x)£h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х®0.

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x₀ (при х®х₀)

|Sin x-Sin x₀|=2*|Sin((x-x₀)/2)|*|Cos((x+x₀)/2)| < 2*|(x-x₀)/2|=|x-x₀| => -|x-x₀|<Sin x-Sin x₀<|x-x₀| при х®х₀ => -|x-x₀|®0 & |x-x₀|®0 => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x₀)®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x₀ (при х®х₀)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x₀ = Sin (П/2 - x₀) = Sin y₀

|Sin y-Sin y₀|=2*|Sin((y-y₀)/2)|*|Cos((y+y₀)/2)| < 2*|(y-y₀)/2|=|y-y₀| => -|y-y₀|<Sin y-Sin y₀<|y-y₀| при y®y₀ -|y-yo|®0 & |y-yo|®0 => (Sin y-Sin y₀)®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x₀)]®0 => (Cos x-Cos x₀)®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кÎZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кÎZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R²) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos x£Lim (Sin x)/x£1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х₀Î[a,b]: f(х₀)=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х₀=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х₀)=f(х₀)-с=0 => f(х₀)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а₁)*g(b₁)<0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а₂)*g(b₂)<0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка [a_N,b_N] будем иметь: g(a_N)<0, g(b_N)>0, причем длина его равна b_N-a_N=(b-a)/2ⁿ®0 при n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках => $ точка x₀ из промежутка [a,b], для которой Lim a_N=Lim b_N= x₀. Покажем, что x₀-удовлетворяет требованию теоремы: g(a_N)<0, g(b_N)>0 => переходим к пределам: Lim g(a_N)£0, Lim g(b_N)³0, используем условие непрерывности: g(x₀)£0 g(x₀)³0 => g(x₀)=0 => f(х₀)-c=0 => f(х₀)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)