Шпоры по математическому анализу (стр. 5 из 8)

Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел отношения частного приращения ∆_хz к приращению ∆х, когда х→0 (если этот предел существует)(1)

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для частной производной функции нескольких переменных, производную функции одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.

Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой функции. Так же истолковывается формула для f'_y(x,y) с той разницей, что f(x,y) рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к следующему правилу.

Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную по х как обыкновенную.

Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.

32. Свойства непрерывных функций двух переменных.

1. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D а) ограничена в области

б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего m значений.

2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.

19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

Определение: Пусть дана функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a,b] (a<b). Сделаем разбиение R этого отрезка точками х_i: а<х₀<x₁< x₂<…< x_n,=b.Обозначим

На каждом промежутке [x_i, x_i+1] выберем произвольную точку ξ_i. Величину

Называют интегральной суммой.

Если существует предел интегральной суммы s_R при λ_R →0. Независящий от выбора разбиений R и выбора точек ξ_i, то он называется определенным интегралом от функции f(x)на отрезке [a,b] и обозначается (1)

Добавление к определению:

1. При a>b полагают

2. принимают

В интеграле (1) числа aи b называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования. Если функция f(x) ≥0 на отрезке [a,b], то геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции. Пусть на промежутке [a,b] задана ограниченная функцияy=f(x), будем считать ее положительной.(рис 1)

Фигура aABb, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезком [a,b] оси х и перпендикулярами аА и bB к оси х, называется криволинейной трапецией. Измерить ее площадь непосредственно путем установления того, сколько раз в этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной, равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней границы.

Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками х_i (i = 0,n): а=х₀<x₁< x₂<…< x_n=b. Это разбиение назовем R. Длину наибольшего отрезка назовем

На каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1] выберем произвольную точку

И построим прямоугольник с высотой f(ξ_i). В результате получится ступенчатая фигура, ограниченная сверху ломаной линией L. Ее площадь назовем s_R. Если теперь увеличивать число делений разбиения R так, что бы λ_R →0, то ломаная L будет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает возможность ввести следующее определние.

Определение: Площадью криволинейной трапеции aAАb называется предел, к которому стремится площадьs_R ступенчатой фигуры когда число делений разбиения R не ограничено возрастает и λ_R →0 (Если этот предел существует и не зависит от способа получения разбиения R и выбора точек ξ_i).

28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.

f(x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:

2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:

Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки M_i(i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим P_n. Будем увеличивать число точек M_iна дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра P_n, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек M_i определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а=х₀<x₁< x₂<…< x_n=b.Длину хорды, соединяющей точки M_i и M_i+1 обозначим ∆l_i.Ее проекциями на оси координат будут ∆х_i ∆у_i. Очевидно,

Покажем, как нахождение предела периметра P_nсводится к вычислению интеграла. Представим ∆l_i в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа

Поставив это выражение ∆у_i в формулу ∆l_i, полуим

Таким образом (1),

Если составить интегральную сумму для функции

с полученными выше точками ξ_i, то придем к выражению (1), т.е.

кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆l_i влечет за собой стремление к нулю

поэтому

(если этот предел существует).

Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:

29. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.

Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а=х₀<x₁< x₂<…< x_n=b. На отрезке [x_i, x_i+1] строим прямоугольник высотой f(x_i). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(x_i) и высотой ∆ x_i. Его объем равен π[f(x_i)]² ∆ x_i. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x₀,x₁], [x₁,x₂],…[x_n-1,x_n]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем V_n.

Определение: Если существует предел V_n, когда

Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,

Данная сумма является интегральной суммой для функции,

Которая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:

Площадь поверхности вращения.