Шпоры по математическому анализу (стр. 6 из 8)

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то

15. Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx(постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

16. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.

Замена переменной.

Будем полагать функции f(u) и φ'(x) непрерывными. Замена переменной производится по формуле:

Формула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x (правая часть дифференцируется как сложная функция).

Интегрирование по частям:

Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства (uv)'=u'v+uv' на dx, получим d(uv)=vdu+udv. Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям

1 Матрицы и действия с ними

Матрицей порядка m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратная матрица порядка m - m=n. Составляющие матрицу числа называют ее элементами.

Сложение матриц.

При сложения, должны быть равны порядки матриц.

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в_{12 _}

а₂₁ а₂₂ в₂₁ в₂₂ ^_

а₁₁+в₁₁ а₁₂ +в₁₂

а₂₁+в₂₁ а₁₂ + в₁₂

Умножение матриц на число.

а₁₁ а₁₂ ва₁₁ ва₁₂

в а₂₁ а₂₂ = ва₂₁ ва₂₂

Умножение матриц друг на друга.

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в_{12 _}

а₂₁ а₂₂ в₂₁ в₂₂ ^_

а₁₁в₁₁+а₁₂ в₂₁ а₁₁в₁₂+а₁₂в₂₂

а₂₁ в₁₁+а₂₂ в₂₁ а₂₁в₁₂+а₂₂в₂₂

2 Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель (детерминал) матрицы - число, которое ставится в соответствие этой квадратной матрице.

Порядок определителя - порядок соответствующей матрицы.

Определение определителя 2-го порядка.

а₁₁ а_{12 _}

а₂₁ а₂₂ ^_а₁₁ а₂₂ -а₂₁ а₁₂

а₁₁ а₂₂ - главная диагональ

а₂₁ а₁₂ - побочная диагональ

Определение определителя 3-го порядка.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а_{23 =} а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ +

а₃₁ а₃₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ - а₁₃ а₂₂ а₃₁ -

- а₂₃ а₃₂ а₁₁ - а₂₁ а₁₂ а₃₃

3 Минором элемента а_ij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, который получается путем вычеркивания в определителе третьего порядка i- той строки и j-ого столбца, т.е. строки и столбца, в котором находится данные элемент а_ij

а_ij занимает четное место, если сумма i+j является четной и наоборот нечетное место, если сумма является нечетным числом.

Алгебраическим дополнением (А_ij)элемента а_ij называется минор этого элемента взятый с "+" если а_ij - четное и с "-" , если а_ij - нечетное.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а_{23 =} а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

а₁х + в₁у =с₁· в₂ -для искл.

а₂х + в₂у =с₂· (-в₁) неизв. у

или

· а₂ -для искл.

· (-а₁) неизв. х.

II сложим полученные уравнения, получим

х( а₁в₂ - а₂в₁) = с₁в₂ - с₂в₁

или (при исключении х)

у( а₁в₂ - а₂в₁) = а₁с₂ - а₂с₁

III По формуле определения определителя 2-го порядка, можно заменить коэфициенты уравнения.

а₁ в₁

Д = - осн. опред-ль системы

а₂ в₂

с₁ в₁

Д_х =

с₂ в₂

доп. опред-ли

а₁ с₁

Д_у =

а₂ с₂

х= Д_х¸Д у= Д_у¸Д

Основной определитель составляется из коэфициентов при неизвестных а Д_х и Д_у получаются путем замены свободными членами соответственно первого и второго столбцов основного определителя.

5.Геометрическое истолкование линейной системы двух уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

I

- у системы 1 решение.

II

а₁¸а₂=в₁¸в₂= k

c₁¸с₂¹k

k (а₁х + в₁у) = k c₁

пусть х₀у₀ - какое-нибудь решение 2-го уравнения, подставляем:

k(а₁х₀+в₁у₀)=kc₁¹с₂Þ

решение второго уравнеиня не удовлетворяет первое.

Противоречивая система - не имеет решений.

______________________________________________________________________

а₁/а₂=в₁/в₂= c₁/с₂= k

второе уравнение равно первому умноженному на какое-либо число или второе уравнение является следствием первого.

Неопределенной системой называется система, имеющая бесконечное количество значений.

6. Геометрическое истолкование линейной системы трех уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

В пространстве Oxyz каждому из уравнений соответствует плоскость. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих плоскостей.

1. Основной определитель Д¹0. По правилу Крамера находится единственное решение системы. Геометрически - это координаты единственной точки пересечения всех трех плоскостей.

2. Д=0 Много возможностей.

А) все три плоскости совпадают.

х+2у+z=2 2-ое и 3-е мы полу-

3х+6у+3z =6 чаем из 1-го, умно-

2х+4у+2z=4 жая их на 3 и 2 соответственно.ÞСистема неопределена. Отбрасываем 2 и 3 ур. и из оставшегося вычисляем z=2-х-2у. Давая различные значения х и у, вычислим соответствующее значение z и получим решение системы Таких решений бесконечное множество.

Б) Две плоскости совпадают, а 3-я их пересевает по одной прямой (т.е. не сливается с ними)Þможно отбросить одно уравнение, оставив уравнения любых двух несливающихся плоскостей. Эта система явл. неопред: значение одной из неизвестных задается произвольно, две другие вычисляются из упомянутой системы. Аналогичный результат получается, когда 3 плоскоти пересекаются по одной прямой, попарно не совпадая.

Если 1 и 3 сложить, то получится 2. И наоборот, если из 3-1, то получим 2.