Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (стр. 2 из 7)
.Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.
Далее, пользуясь этими же формулами,
,следовательно,
.Затем
,или, после простых подсчетов,
,где
.Таким образом,
и 
представляют корни уравнения 
,Когда найдены
и , 
и 
находятся по формулам 
,в которых
, 
.Здесь использовано равенство
,которое получается, так мы имеем
,и
,следовательно,
,откуда
(так как
), нужно брать 
.Таким образам,
и есть корни уравнения 
и
и по формулам ,в которых
,где
находится из равенства 
.Остается найти
. Оно находится по равенству 
.При помощи подстановки
мы находим:
.Следовательно,
.Тип IV.
Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям
0< æ<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.
Пусть эти корни равны
,где
.Тогда уравнение (1) будет
,откуда
,и
,или
,(3)причем
.Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты
и константы 
: 
(здесь
, и 
), 
,где
- функция Пирсона, определяемая равенством 
.Интеграл в правой части можно привести к другому виду:
подстановка
приводит его к виду
.Обычно, полагая
,пишут
в виде 
,где
.Тип VI.
Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия æ>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:
(в нем
). Его параметры вычисляются по формулам: 
,причем берется
, если 
и 
, если 
; 
и 
дают выражения: 
,причем должно быть
; 
,и
.Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:
беря за начало координат точку
.Параметры
вычисляются как выше, а 
имеет теперь такое выражение: 
.Кривая простирается от
до 
, если , и от 
до 
, если .§ 3. Переходные типы кривых Пирсона.
Переходные типы кривых Пирсона получаются при специальных значениях критерия æ и при некоторых условиях, налагаемых на
и 
.Тип II.
Получается при æ=0,
и имеет уравнение 
,отнесенное к моде, которая теперь равна средней (кривая симметрична относительно начала). Ее параметры вычисляются по формулам
Кривая простирается от -а до а. На концах распределения
, если 
и 
, если 
. Эта кривая имеет так называемую U-образную форму с антимодой вместо моды.