Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (стр. 6 из 7)

И соответственно условие ортогональности будет иметь вид:

если

Многочлены Чебышева I рода являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция, относительно которой ортогональны эти многочлены, имеет вид:

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров

Многочлены Чебышева II рода так же являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Чебышева II рода имеет вид

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров

Следует так же отметить, что многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Лежандра

и есть частный случай весовой функции многочленов Якоби при

Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.

В этой главе рассматриваются примеры нахождения кривых распределения по методу кривых Пирсона с использованием теоретических исследований, рассмотренных в первой и второй главах дипломной работы. Было написано программное обеспечение, с помощью которого были получены и проинтерпретированы численные результаты.

§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей.

Рассмотрение примеров заключалось в том, что было рассмотрено пятьдесят случайных выборок, а далее были рассмотрены примеры выборок с заданным законом распределения. Согласно рассмотренному ниже алгоритму были произведены соответствующие вычисления, и по каждой выборке была построена кривая распределения вероятностей. При проведении испытаний было получено, что кривая распределения сорока семи из пятидесяти рассмотренных выборок есть кривая Пирсона первого типа, которая определяется следующей формулой:

Здесь нужно отметить разнообразие кривых Пирсона, делающее их применение очень гибким. Это означает, что кривые распределения вероятностей первого типа при различных значениях параметров

могут иметь различную форму.

Ниже рассмотрено несколько примеров наиболее часто встретившихся форм кривой распределения I типа.

Пример 1.

Рассмотрим выборку:


1	10,55233622	2	Кривая распределения вероятностей первого типа.
2	13,44763172	2
3	17,80800986	1
4	4,963081479	2	Параметры кривой:
5	14,66424847	2
6	12,436602	1	10,0143
7	9,36697793	2	7,6909
8	15,20854056	1	0,9984
9	15,66078138	2	0,5348
10	8,748272777	2	0,0759
11	9,028156996	1
12	18,93642914	2
13	18,84283829	1
14	14,6049341	1

Следовательно, кривая распределения вероятностей будет определена на промежутке

и будет иметь вид:

Рис.1

Из чего следует, что если параметры кривой распределения первого типа будут находиться в пределах

, то мы будем получать форму кривой распределения, изображенную на рис.1.

Из пятидесяти рассмотренных выборок двадцать четыре имеют такую форму кривой распределения вероятностей.

Пример 2.

Рассмотрим другую выборку:


1	8,460199654	2	Кривая распределения вероятностей первого типа.
2	45,34087276	8
3	18,07745451	5
4	5,419406056	8	Параметры кривой:
5	18,67596108	6
6	23,24656701	9	17,4066
7	18,95143622	1	37,6794
8	53,27426755	3	-0,3882
9	54,93095666	1	0,3243
10	24,27284002	2	0,0187
11	17,74883789	4

Кривая распределения вероятностей имеет в этом случае форму, показанную на рис. 2.

Рис.2

В этом случае параметры кривой распределения будут:

. И если параметры кривой распределения другой выборки будут удовлетворять этим неравенствам, то форма кривой распределения этой выборки будет похожа на рис. 2.

Этот случай встретился нам семь раз из пятидесяти.

Пример 3


1	3,881268442	7	Кривая распределения вероятностей первого типа.
2	1,343869925	17
3	3,770335495	11
4	2,860628724	9	Параметры кривой:
5	2,043179214	4
6	1,447737217	10	1,2163
7	2,43993476	13	1,4994
8	1,658227324	8	-0,7286
9	3,98119396	16	-0,6654
10	1,391261339	5	0,1632

Кривая распределения вероятностей имеет вид:

Рис. 3

Такой будет форма кривой распределения вероятностей, если параметры

. Эта форма кривой встречается шестнадцать раз из пятидесяти.