Комплексные числа в планиметрии (стр. 5 из 10)

то

— действительное число.

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если

действительное число, то и действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношениевещественно, то

Следовательно, либо

BCA=

BDA, либо ВСА—

ВDА=±

, т.е.

ВСА+

ADB=±

. В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ± , и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.

Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды

Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A₁, B₁, C₁ комплексные числа

Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем Следует доказать, что (рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому:

Или

т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число

равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.

Задача 2. На плоскости даны четыре окружности

так, что окружности и пересекаются в точках и ; окружности и пересекаются в точках и , окружности и — в точках и и окружности и — в точках и . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной

окружности или прямой (рис.9).

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:

Поэтому будет действительным и число

Следовательно, из вещественности двойного отношения

вытекает вещественность и двойного отношения .

Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

ОПР: Треугольники АВС и

подобны и одинаково ориентированы (подобие первого рода), если только и

(углы ориентированные).

Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так:

Два равенства

и эквивалентны одному или

(35)

где

комплексное число, коэффициент подобия.

Если, в частности,

- число действительное, то и на основании признака (8) будет . По такой же причине и . Следовательно, треугольники и гомотетичны.

Соотношение (35) — необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и

являются подобнымии одинаково ориентированными. Ему можно придать симметричный вид:

(36)

или

. (37)

ОПР. Треугольники АВС и

подобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода), и . Последнее равенство дает:

Два равенства

и

эквивалентны одному