Комплексные числа в планиметрии (стр. 7 из 10)
2) Формулой (4а) для точек M, N, P:
(из условия задачи);3) Формулой (11),- коллинеарности точек M, N, P:
Теперь простой проверкой убеждаемся в том, что из 1)
2) 
3).ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число
. Из равенств и 
однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа 
и 
: 
(1)Поэтому комплексные числа z и
называются сопряженными комплексными координатами этой точки.Формулы (1) позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.
Геометрический смысл уравнения
Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению
(2)Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему относительно
и 
второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряженным числам. Уравнивая коэффициенты при
, путем вычитания второго уравнения из первого получаем: 
Если
, т.е. 
, то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения 
будет единственное число z=0. При 
уравнение напишем в виде 
. Модули левой и правой частей равны. Необходимо, чтобы 
, откуда 
. Этому условию удовлетворяет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом 
к действительной оси (рис.1). Так, уравнением (3)  |
задается прямая при
и точка 
при .Пусть теперь
. Свободный член уравнения (2) можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать 
Тогда имеем систему: 
из которой получаем:
. Рассмотрим возможные случаи.Если
, то 
и подстановкой в исходное уравнение получаем: 
или 
.При
его решение единственно: 
При
решений нет.Если
, то 
и 
, т. е. . В этом случае уравнением (2) при 
прямая. В самом деле, возьмем точку 
и вектор 
точки В(b) и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из которых (MQ) 
(OB): 
(4)Очевидно, это множество есть прямая. При
и уравнение (4) эквивалентно уравнению (2).Таким образом, при
и уравнение (2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору 
. Наконец, отметим случай, когда
, но 
. Тогда система 
приводит к противоречию:
, т.е. .Подведем итоги. Уравнением
, в котором хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, задается:1) прямая при |а|=|b|, с=0, а также при
;2) единственная точка при
;3) пустое множество в иных случаях, т. е. при |a| = |b|, 
, а также при
, .Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе:
не налагая ограничений на коэффициенты а, b, с, кроме того, что a и bне равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при
, приходим к уравнению 
, которое:а) имеет единственное решение при
;б) имеет бесконечное множество решений при
и 
;в) не имеет решений при
и 
.Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение
определяет: