Комплексные числа в планиметрии (стр. 9 из 10)

Итак, уравнением (15) задается либо окружность (действительная, мнимая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.

Рассмотрим одну замечательную пару окружностей.

Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.

Для того чтобы окружности (A, R) и (В, r) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы |AB|²=R²+r² , или

. (20)

Если окружности заданы уравнениями

то

, и поэтому критерий (20) их ортогональности трансформируется так:

(21)

Решение задач

Задача 1. Хорды АВ и PQ окружности пересекаются в точке С. Найти множество точек М пересечения прямых АР и BQ, если точки А, В, С постоянны, а точки Р и Q пробегают данную окружность (рис.3).

Решение. Пусть z - комплексная координата произвольной точки М искомого множества и данная окружность принята за единичную

. В силу зависимости координат точек, принадлежащих секущей к окружности (см. предыдущую статью), имеем:

откуда

. Подставляя эти выражения во второе равенство, получаем:

или

Привлекая

, полученному уравнению придадим вид

Теперь ясно, что искомое множество точек представляет собой пару прямых, одной из которых является прямая АВ, а другая имеет уравнение

(22)

в приведенной форме. Как видим, эта прямая не зависит от хорды АВ, а определяется лишь окружностью и точкой С. Она называется полярой точки С относительно окружности

Задача 2. Около окружности описан квадрат ABCD. Точки

- ортогональные проекции его вершин A, В, С, D соответственно на произвольную касательную к окружности. Доказать, что

Решение. Радиус окружности примем за единицу длины. Систему координат выберем так, чтобы точки касания сторон АВ, ВС, CD, DA с окружностью имели координаты

. Тогда вершины А, В, С, D будут иметь координаты

Касательная к окружности в ее произвольной точке Р (р) имеет уравнение

в приведенной форме. Руководствуясь формулой (13), находим:

Аналогично получаем:

Равенство доказано.

Задача 3. Вершины A и В прямоугольного равнобедренного треугольника АВС спроектированы параллельно некоторой прямой l на прямую, проходящую через вершину С прямого угла, соответственно в точки

. Доказать, что сумма

зависит только от угла

между осью проекций и прямой l(при заданном треугольнике АВС).

Решение. Примем ось проекций за действительную ось х и вершину С за начало О. Прямую l проведем через О и зададим принадлежащей ей точкой Р(р),|p|=1. Ее уравнение имеет вид

. Если вершина A имеет координату а, |а|=1, то вершине В соответствует число ai (рис.4).

Прямые АА₁ и BB₁ получают уравнения

. Для точек, лежащих на оси х проекций,

. Подстановкой в предыдущие уравнения получаем координаты точек А₁ и В₁:

Находим:

где

- указанный в условии задачи угол.

Задача 4. На окружности

взяты четыре произвольные точки А, В, С, D. Окружности

соответственно с центрами A,В, С и проходящие через точку D пересекаются вторично попарно в точках

(рис.5). Доказать, что точки

коллинеарны.

Решение. Пусть окружность

является единичной и точка D имеет координату d=l. Используя уравнение (14) и тот факт, что окружность

имеет центр A(а) и содержит точку D(1), получаем ее уравнение

, или

. Аналогично окружности

будут иметь уравнения

Решая систему уравнений окружностей

, находим координату второй общей точки М₃этих окружностей: m₃=a+b-ab.

Аналогично m₂=c+a-ca, m₁=b+c-bc.

Отсюда находим:

Это число сопряжено самому себе, и потому точки

коллинеарны.

Задача 5. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку М (т) ортогонально данной окружности

Решение. Если окружность

обладает заданным свойством, то

Исключая

получаем уравнение относительно

Им определяется прямая с нормальным вектором

, который равен вектору

, где

- центр данной окружности. Следовательно, эта прямая перпендикулярна прямой AM (рис.6).