Живая геометрия (стр. 4 из 8)
Итак, знание геометрических законов природы имеет огромное практическое значение. Мы должны не только научиться понимать эти законы, но и заставлять служитьих нам на пользу.
1.3 Сущность геометрических построений
Развитие статических и динамических представлений детей относятся к числу важнейших задач обучения в школе. Сознавая это, учитель старается использовать богатые возможности курса черчения для постановки и решения различных пространственных задач в процессе графической подготовки учащихся. Немаловажную роль в расширении и продуктивном развитии пространственных представлений играют геометрические построения [8;12].
Деление окружности на равные части, достаточно распространенное геометрическое построение, основывается на законах симметрии, а именно является примером поворотной симметрии [1;7].
Деление окружности на восемь равных частей.
Деление окружности на восемь равных частей производится в следующей последовательности (рис.8):
Проводят две перпендикулярные оси, которые пересекая окружность в точках 1, 2, 3, 4 делят ее на четыре равные части;
Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы прямых углов, которые, пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.
Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей.
Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей выполняется в следующей последовательности (рис.9):
Выбираем в качестве точки 1, точку пересечения осевой линии с окружностью.
Из точки 4 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 2 и 3; Точки 1, 2 и 3 делят окружность на три равные части;
Из точки 1 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 5 и 6;
Точки 1 - 6 делят окружность на шесть равных частей;
Дуги радиусом R, проведенные из точек 7 и 8 пересекут окружность в точках 9, 10, 11 и 12;
Точки 1 - 12 делят окружность на двенадцать равных частей.
Деление окружности на пять равных частей.
Деление окружности на пять равных частей выполняется в следующей последовательности (рис.10):
Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В; Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;
Из основания перпендикуляра - точки С, радиусом равным С1, проводят дугу окружности, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D;
Из точки 1 радиусом равным D1, проводят дугу до пересечения с окружностью в точке 2, дуга 12 равна 1/5 длины окружности;
Точки 3, 4 и 5 находят откладывая циркулем по данной окружности хорды, равные D1.
Деление окружности на семь равных частей.
Деление окружности на семь равных частей выполняется в следующей последовательности (рис.11):
Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В; Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;
Длину перпендикуляра ВС откладывают от точки 1 по окружности семь раз и получают искомые точки 1 - 7.
Деление окружности на любое количество равных частей [23]
Для деления окружности на любое количество равных частей можно воспользоваться коэффициентами (см. таблицу 1.). Зная, на какое число n следует разделить окружность, находят коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр D этой окружности, получают длину хорды, которую циркулем откладывают на заданной окружности n раз.
Таблица 1.
| n | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| k | 0.12533 | 0,12054 | 0,11609 | 0,11196 | 0,10812 | 0,10453 |
| n | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
| k | 0,10117 | 0,09802 | 0,09506 | 0,09227 | 0,08964 | 0,08716 |
Циклоида - траектория (путь) точка А, лежащая на окружности, которая катится без скольжения по прямой АА12 (рис.12).
Построение циклоиды производится в следующей последовательности [12]:
На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА12, равный длине производящей окружности радиуса r, (2pr); Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А; Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равных частей, например на 12; Из точек делений 11, 21, ...121 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 01, 02, ...012; Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r; Полученные точки А1, А2, ...А12 принадлежат циклоиде.
Эпициклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внешнее) (рис. 13).
Построение эпициклоиды выполняется в следующей последовательности [12]:
Производящую окружность радиуса r и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались в точке А; Производящую окружность делят на 12 равных частей, получают точки 1, 2, ... 12; Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 000=R+r; Центральный угол a определяют по формуле a =360r/R. Делят дугу направляющей окружности, ограниченную углом a, на 12 равных частей, получают точки 11, 21, ...121; Из центра 0 через точки 11, 21, ...121 проводят прямые до пересечения с вспомогательной дугой в точках 01, 02, ...012;
Из центра 0 проводят вспомогательные дуги через точки деления 1, 2, ... 12 производящей окружности; Из точек 01, 02, ...012, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А1, А2, ... А12, которые принадлежат эпициклоиде.
Гипоциклоида (рис.14) - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внутреннее).
