Живая геометрия (стр. 6 из 8)

Девять планет движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, близким к круговым. Плоскости всех планет (за исключением Плутона) с большой точностью совпадают с плоскостью земной орбиты — так называемой плоскостью эклиптики. Например, плоскость орбиты Марса образует с плоскостью эклиптики угол 2°. С плоскостью эклиптики совпадают также плоскости орбит всех тридцати спутников планет Солнечной системы, включая и орбиту Луны.

Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа (рис. 17).

Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко. Фактически мы встречаемся с ней при изучении лишь некоторых обитателей моря.

Раковины некоторых моллюсков и отпечатки ископаемых обнаруживают поразительное сходство с равноугольной спиралью.

На рис.18 показано сечение раковины Nautilus. В книгах о росте и формах живых организмов излагаются теории, объясняющие, почему природа отдает предпочтение равноугольной спирали.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться (рис.19), причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам.

Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития. По логарифмической спирали очерчены не только раковины — в подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система [11].

2.2 Открытие некоторых геометрических построений

"Золотым веком" греческой геометрии называют эпоху, когда жили и творили математики Архимед (287-195 гг. до н.э.), Эрастофен (275-195гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250-190гг. до н.э.). Измерение криволинейных образов связано с именем Архимеда. Он указал методы измерения длины окружности, площади круга, сегмента параболы и спирали, объемов и поверхностей шара, других тел вращения и др [31].

К началу XVII века математики знали такие кривые линии, как эллипс, гиперболу, параболу и т.д. однако в то время еще не было общего метода изучения линий, и потому исследование каждой кривой превращалось в сложную научную работу.

Открытия Декарта и Ферма доли в руки математиков метод для получения и изучения новых кривых – надо было написать уравнение кривой и сделать выводы, исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал новую кривую, уравнение которой имеет вид x³+y³-3axy=0, a>0 (рис. 20).

Ее сейчас называют декартовым листом. Любопытно, что хотя Декарт применял уже в своей алгебре не только отрицательные, но даже мнимые числа, он не рассматривал отрицательных значений координат. Первоначально декартов лист считали симметричным относительно осей координат (рис. 21).

Окончательно форма кривой была установлена лишь через полстолетия Х.Гюйгенсом (1629-1695) и Иоганном Бернулли (1667-1748).

Декартов лист, эллипс, гипербола, парабола являются алгебраическими кривыми. Так называют кривые, уравнение которых имеет вид Р (х,у)=0, где Р(х,у) – многочлен от х и у. но уже Галилей и Декарт изучали циклоиду – кривую, описываемую точкой обода колеса, катящегося без скольжения по прямой дороге. Можно доказать, что уравнение одной арки циклоиды имеет вид x=rarcos * (r-y)/r - √2ry-y². Так как в это уравнение входит обратная тригонометрическая функция, циклоида не является алгебраической кривой.

К неалгебраическим кривым нельзя было применять алгебраические методы, разработанные Декартом, поэтому их назвали трансцендентными кривыми (от латинского «трансценденс» - выходящий за пределы). Некоторые трансцендентные кривые были известны еще древнегреческим математикам. Например, в связи с задачей о спрямлении окружности (построении отрезка, длина которого равна длине этой окружности) Архимед построил особую спираль, определив ее на языке механики как траекторию точки, совершающей равномерное и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала.

После того, как были открыты логарифмы, стали изучать свойства графиков логарифмической и показательной зависимостей. Задачи механики требования отыскивания формы провисшего каната (так называемой цепной линии). Поиски кривой, длина дуги которой пропорциональна разности длин векторов, проведенных в ее концы, привели к открытию логарифмической спирали [11].

В течение XVII столетия было открыто больше кривых, чем за всю предшествующую историю математики, и понадобились общие понятия, которые позволили бы единым образом трактовать и изучать как алгебраические, так и трансцендентные кривые, как тригонометрические, так и логарифмические зависимости.

Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии является французский геометр Гаспар Монж (1746-1818гг.). Знания, накопленные по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, он систематизировал и обобщил, поднял начертательную геометрию на уровень научной дисциплины. "…Нужно научить пользоваться начертательной геометрией" - говорил Г. Монж [21].

В работе Г. Монжа "Начертательная геометрия" ("Geometric Descriptive"), изданной в 1798г., решались задачи:

1. Применение теории геометрических преобразований.

2. Рассмотрение некоторых вопросов теории проекций с числовыми отметками.

3. Подробное исследование кривых линий и поверхностей, в частности применение вспомогательных плоскостей и сфер при построении линии пересечения поверхностей.

Появление начертательной геометрии было вызвано возраставшими потребностями в теории изображений. Дальнейшее развитие начертательная геометрия получила в трудах многих ученых [21;32].

Глава 3. Практическая часть

3.1 Сущность графического образования, и его место в современном мире

Каждый выпускник школы должен иметь представление о классических и современных системах отображения информации, знать и уметь пользоваться их методами и способами отображения, применять программные средства для создания графических изображений, иметь общее представление о проектной деятельности (инженерно-конструкторской, дизайнерской, архитектурно-строительной и др.).

Под графическим образованием понимается процесс развития и саморазвития школьника, связанный с овладением графической культурой и графической грамотностью.

Графическая культура школьника — совокупность знаний о графических методах, способах, средствах, о правилах отображения и чтения информации, ее сохранения, передачи, преобразования и использования в науке, производстве, дизайне, архитектуре, экономике, общественных сферах жизни общества, а также совокупность графических умений, позволяющих фиксировать и генерировать результаты репродуктивной и творческой деятельности [28].

Графическое образование школьников направлено на подготовку грамотных в области графической деятельности выпускников школ, владеющих совокупностью знаний о графических методах, способах, средствах, правилах отображения, сохранения, передачи, преобразования информации и их использования в науке, производстве, дизайне, архитектуре, экономике и общественных сферах жизни; владеющих совокупностью графических умений, а также способных использовать полученные знания и умения не только для адаптации к условиям жизни в современном обществе, но и для активного участия в репродуктивной и творческой деятельности (научной, производственной, проектной и др.).

Цель графического образования конкретизируется в основных задачах:

• формировании представлений о графических средствах (языковых, неязыковых, ручных, компьютерных) отображения, создания, хранения, передачи и обработки информации;

• изучении и освоении методов, способов, средств графического отображения и чтения информации, используемых в различных видах деятельности;

• развитии пространственного воображения и пространственных представлений, образного, пространственного, логического, абстрактного мышления школьников;

• формировании умений применять геометро-графические знания и умения для решения различных прикладных задач;

• ознакомлении с содержанием и последовательностью этапов проектной деятельности в области технического и художественного конструирования;