Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 6 из 11)
.Согласно геометрическому смыслу аргумента двойного отношения, он равен ориентированному углу между окружностями (прямой и окружностью, двумя прямыми) ABC и ABD, но
. ■Следствие 1. Инверсия сохраняет двойное отношение расстояний между точками, каждая из которых не совпадает с центром инверсии и с бесконечно удаленной точкой.
□ Заметим, что
. Из этого следует, что инверсия сохраняет двойное отношение расстояний между точками, каждая из которых не совпадает с центром инверсии и с бесконечно удаленной точкой.Для иных наборов точек это утверждение, вообще говоря, неверно. Например, будем предполагать, что все четыре точки различны. Если центр инверсии совпадает, скажем, с точкой А, то, при неравенстве остальных точек бесконечно удаленной, получаем отношение
, не имеющее смысла. Если же А совпадает с бесконечно удаленной точкой, то получим 
- тоже нет смысла. ■Следствие 2. Две точки и их образы при инверсии лежат на одной окружности или одной прямой.
□ Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим инверсию
. Пусть точки А(a) и В(b) переходят при инверсии в точки А’(a’) и В’(b’). Тогда координаты образов будут 
и 
соответственно. Если двойное отношение их вещественно, то все доказано. 
, то есть они действительно лежат или на одной окружности, или на одной прямой.Чтобы они лежали на прямой, нужно потребовать, чтобы точки А и В были коллинеарны с центром инверсии, причем каждая из точек даже может совпадать с центром инверсии или бесконечно удаленной точкой. ■
Следствие 3. Касающиеся окружности или касающиеся окружность и прямая переходят при инверсии в касающиеся окружности или касающиеся окружность и прямую, если только точка касания не совпадает с центром инверсии, иначе они переходят в параллельные прямые.
□ Угол между касающимися окружностью и прямой или касающимися окружностями равен 0º. Если точка касания не совпадает с центром инверсии, то окружности переходят в две окружности, если центр инверсии не на одной из окружностей, в противном случае в окружность и прямую. Угол сохраняется, значит, все верно.
Если же точка касания совпадает с центром инверсии, то окружность переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии, а прямая переходит сама в себя. Угол между прямыми сохраняется и равен 0º, то есть они действительно параллельны. ■
Определение7. Прямая называется касательной к кривой в точке М0, если для произвольной точки кривой М расстояние от М до прямой стремится к нулю быстрее, чем от М до М0, когда M® М0, то есть
, где Р – это проекция точки М на прямую.Определение8. Окружность называется касательной к кривой в точке М0, если касательная к окружности в этой точке является и касательной к кривой в этой точке.
Определение 9. Углом между двумя кривыми в их общей точке называется угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.
Если кривые не имеют общих точек, или хотя бы одна из них не имеет касательной в общей точке, то угол между кривыми не определен.
Очевидно, что угол между двумя кривыми в их общей точке также можно определить как угол между касательными окружностями (касательной окружностью и прямой) к этим кривым в рассматриваемой точке.
Определение 10. Всякое преобразование, при котором сохраняются углы между кривыми, называется конформным преобразованием.
Следствие 4. Инверсия есть конформное преобразование.
□ Лемма. Пусть дана окружность с центром sи точка m0 на ней. Тогда прямая, проходящая через эту точку и касающаяся данной окружности, будет иметь уравнение
.○ Искомая касательная перпендикулярна прямой, проходящей через sи m0, и сама проходит через m0.
Перенесем центр координат в точку m0, то есть применим параллельный перенос, который будет иметь уравнение
. Прямая, проходящая через s-m0 и 0, будет иметь уравнение 
, или в канонической форме 
. Любая прямая, проходящая через 0, будет иметь уравнение 
. Чтобы она была перпендикулярна прямой 
, нужно, чтобы 
. То есть можно взять 
. Значит, искомая прямая будет иметь уравнение 
. Переводим в исходные координаты: . ●Пусть нам даны кривые g и n, имеющие общую точку с координатой m0, и пусть каждая из них имеет касательную в этой точке – l и pсоответственно. Пусть при некоторой инверсии кривые g и n перейдут в кривые g’ и n’, прямые l и p – в прямые или окружности l’ и p’. Все фигуры будут проходить через точку с координатой m’0. Угол между последними, по свойству 5, сохранится, так что остается показать, что они будут касательными к кривым g’ и n’ в точке с координатой m’0.
Итак, для доказательства достаточно показать, что если дана кривая g и касательная lк ней в точке с координатой m0, то l’ будет также касательной к g’ в точке с координатой m’0.
Прямая lбудет касательной к кривой в точке М0 при
, где Р – это проекция точки М на прямую l, М – точка кривой g.Выполним инверсию I, пусть ее степень равна k, а центр s не в точке М0. Поместим начало координат в s, и уравнение инверсии будет
. Также направим действительную ось через точку М0. Если уравнение l 
, 
, то уравнение l' будет 
, .Заметим, что по условию выполняется
Û 
Û 
.Если l' – окружность, то касательная к ней в точке М0’ будет, по лемме, иметь уравнение
Û 
. В силу равенства 
получаем 
Û 
Û 
.Покажем, что она будет касательной и к g’ в точке М0’, то есть
, где Q – это проекция точки М’ на эту прямую, М’ – точка кривой g’.Из свойства 4 имеем:
. Отсюда следует, что 
. Действительно, 
= 
= 0. Также 
= 
= 0.Тогда
Û 
Û 
Û 
Û 
.