Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 7 из 11)

По известным неравенствам

, и получаем: £ + £ = + .

Рассматриваемый предел

ограничен слева нулем, а справа пределом = + = 0 + .

Но мы брали m₀ действительным числом, поэтому

. Значит, доказываемый предел равен нулю, если l' – окружность.

Если l' – прямая, то ее уравнение совпадет с прообразом:

. Тогда нам уже дано равенство . Покажем, что сама прямая будет касательной к g’ в точке М₀’. Действительно, Û Û Û , а этот предел нам дан.

Мы пришли к выводу, что когда центр инверсии не лежит в рассматриваемой точке, то угол между кривыми сохраняется.

Если же взять центр инверсии в точке М₀, то последняя отобразится в бесконечно удаленную область. Касательные lиpперейдут сами в себя и по соглашению о бесконечно удаленной области будут касаться кривых g’ и c’ в несобственной точке М’₀. Можно определить угол между ними в несобственной точке как имеющийся угол между ними. ■

Следствие 5. Четное число инверсий не меняет угла между кривыми, нечетное число меняет направление угла на противоположное.

6º. Каждые две окружности или прямую и окружность можно при помощи инверсии перевести в две прямые (пересекающиеся или параллельные) или в две концентрические окружности.

□ Если данные окружности или окружность и прямая касаются, то при центре инверсии в точке касания переходят в две параллельные прямые (следствие 4).

Пусть даны две не касающиеся окружности действительного радиуса. Если они пересекаются, то, взяв за центр инверсии одну из точек пересечения, получим две пересекающиеся прямые (они будут пересекаться по образу второй точки пересечения).

Пусть окружности не пересекаются. Если они уже концентрические, то существует две инверсии, переводящие их одна в другую. Если же они не концентрические, то в две прямые они перейти не могут, так как тогда центр инверсии должен располагаться одновременно на обеих, что невозможно. Попробуем их перевести в две концентрические окружности.

Введем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной из них совпадает с началом координат, и радиус этой окружности равен 1.

Центр инверсии лежит также на действительной оси. Действительно, центр инверсии, центр образа первой окружности и центр ее же лежат на одной прямой. Но тогда центр второй окружности лежит там же. А центры обеих окружностей принадлежат действительной оси.

Пусть координаты пересечения второй окружности с действительной осью равны а₁ и а₂, у первой окружности это будут точки с координатами -1 и 1. Пусть на оси дана точка О с координатой s. Тогда при инверсии с центром в точке О и степенью k будут выполняться равенства:

, , и . Но точки лежат на действительной оси, поэтому верно , , .

Полученные окружности концентричны, если

. То есть , что равносильно , откуда получаем равносильное уравнение относительно s: , где s не совпадает с рассмотренными четырьмя точками.

= . Значит, дискриминант положителен в точности тогда, когда окружности не пересекаются. Это и доказывает существование нужной инверсии, причем их будет две. Также нужно заметить, что степень инверсии погоды не делает.

Пусть теперь даны не касающиеся окружность и прямая. Если они не пересекаются, то, взяв центр инверсии на прямой или окружности, получим при инверсии прямую и окружность. Не подходит. Если возьмем центр инверсии вне прямой и окружности, то получим две окружности. Попробуем найти инверсию, при которой они концентрические.

Введем систему координат таким образом, что прямая будет мнимой осью, а центр окружности лежит на действительной оси и координата одной из точек пересечения окружности в осью равна 1, а вторая точка пересечения имеет положительную координату а.

Возьмем точку на действительной оси, не принадлежащую данной прямой и окружности, пусть ее координата равна s. Проведем инверсию с центром в этой точке и степенью k. Если она переведет фигуры в концентрические окружности, то аналогично это только тогда, когда выполняется равенство

, то есть , или , откуда, после приведения подобных, получаем . Так как знаменатель заведомо не равен нулю, поскольку мы так брали s, то получаем , откуда, в силу положительности а, . Итак, такая инверсия существует.

Если же прямая и окружность пересекаются, то, взяв за центр инверсии одну из точек пересечения, получим две прямые. Они будут пересекаться в образе второй точки пересечения. ■

7º. При инверсии с центром s_Iи степенью k окружность с центром sрадиуса r, не совпадающая с окружностью инверсии (если степень положительна), отображается в себя тогда и только тогда, когда выполняется равенство

.

□ Перенесем начало координат в центр инверсии параллельным переносом

, и инверсия тогда будет задана формулой . Координата центра окружности станет , для удобства в дальнейшем будем опускать этот штрих. Тогда уравнение окружности будет . Понятно, что центр инверсии не лежит на окружности, иначе она вообще перейдет в прямую. Это соображение дает нам . Окружность инверсией переводится в , или , то есть . Так как центр инверсии не на окружности, то это равносильно . Это будет та же самая окружность при условии, что Û Û Û Û .