Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях (стр. 9 из 16)
· Предположим, что
чётно, тогда игрок 2 имеет такую стратегию 
где 
, 
, 
, 
, 
, 
для всех 
. Теперь используя теорему можно убедиться, что значение игры 
. Игрок 1 имеет оптимальную стратегию 
, а оптимальная стратегия игрока 2 равна 
, если 
и 
если Приведём теорему, по которой решалась эта игра. Теорема: для того, чтобы ситуация
была равновесной в игре 
, а число 
- значение игры , необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства. Для всех 
и 
: 
).Ситуация
называется ситуацией равновесия в чистых стратегиях, если для любых 
выполнено двойное неравенство 
(*). Если каждый из игроков стремится достичь ситуации равновесия, то принцип, которому они следуют, называют принципом равновесия. Для игры, заданной матрицей 
равенство 
(т.е. верхнее значение игры равно нижнему значению) записывается в виде 
, а неравенство (*) – в виде 
, где 
чистые максиминная и минимаксная стратегии соответственно игроков Iи II.Пример 3. Игра «Дуэль».
Два дуэлянта (игроки А и В) начинают сходиться в момент времени t=0. Встреча произойдёт в момент времени t=1. У каждого есть возможность выстрелить в любой момент времени. Если одному из них удастся выстрелить раньше соперника, то он становится победителем. Если же оба выстрелят одновременно, то дуэль закончится вничью. Если игрок А произведёт выстрел в момент времени x(
) то его выстрел будет успешным с вероятностью р(x). Подобным образом будет вероятным выстрел игрока В в момент времени y( 
) cвероятностью q(y). При условии 
игрок А выиграет с вероятностью р(x), а проиграет с вероятностью (1- р(x))q(y). Тем самым его средний выигрыш при будет равен 
. С другой стороны, если x> y, то его средний выигрыш будет равен 
. При x= yсредний выигрыш 
. Таким образом, функция H(x,y) игрока А имеет вид 
и антагонистическая игра задана. В частности, если игроки стреляют без промаха,
, 
2.2 Примеры матричных игр в чистой и смешанной стратегиях Уменьшение порядка платёжной матрицы
Порядок платёжной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счёт исключения доминируемых и дублирующих стратегий.
Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение
< 
,,где
и - значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K* и K**.В случае, если выполняется соотношение
= ,стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.
Например, в матрице
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 | |
| A1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 7 |
| A2 | 7 | 6 | 5 | 4 | 4 | 8 |
| A3 | 1 | 8 | 2 | 3 | 3 | 6 |
| A4 | 8 | 1 | 3 | 2 | 2 | 5 |
Платёжная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями. Стратегия A1 является доминируемой по отношению к стратегии A2, стратегия B6 является доминируемой по отношению к стратегиям B3, B4 и B5, а стратегия B5 является дублирующей по отношению к стратегии B4. Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платёжной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей.
Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платёжной матрицы, называется ещё множеством Парето (по имени итальянского экономиста Вильфредо Парето, занимавшегося исследованиями в данной области)
Пример решения матричной игры в чистых стратегиях
Рассмотрим пример решения матричной игры в чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий за рынок продукции региона.
Задача
Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.
Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции.
Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.).
| Технология | Цена реализации единицы продукции, д.е. | Полная себестоимость единицы продукции, д.е. | |
| Предприятие 1 | Предприятие 2 | ||
| I | 10 | 5 | 8 |
| II | 6 | 3 | 4 |
| III | 2 | 1.5 | 1 |
В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:
Y= 6 – 0.5×X,
где Y– количество продукции, которое приобретёт население региона (тыс. ед.), а X– средняя цена продукции предприятий, д.е.
Данные о спросе на продукцию в зависимости от цен реализации приведены в таблице.
Спрос на продукцию в регионе, тыс. ед.
| Цена реализации 1 ед. продукции, д.е. | Средняя цена реализации 1 ед. продукции, д.е. | Спрос на продукцию, тыс. ед. | |
| Предприятие 1 | Предприятие 2 | ||
| 10 | 10 | 10 | 1 |
| 10 | 6 | 8 | 2 |
| 10 | 2 | 6 | 3 |
| 6 | 10 | 8 | 2 |
| 6 | 6 | 6 | 3 |
| 6 | 2 | 4 | 4 |
| 2 | 10 | 6 | 3 |
| 2 | 6 | 4 | 4 |
| 2 | 2 | 2 | 5 |
Значения долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены.
Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию (табл. 1.1)