Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач (стр. 3 из 9)
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x
:U
∙ Y(x ) = u ,где U
= [ U 
∙ K(x ←x ) ] и u = u - U ∙ Y*(x ←x ) .И так в точку x
переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:U
∙ Y(x ) = u ,V
∙ Y(x ) = v .Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:
∙ Y(x ) = 
.А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].
То есть, получив
U
∙ Y(x ) = u ,применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U
∙ Y(x ) = u .И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем
Y(x
) = K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x ) .И получаем
U
∙ [ K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x ) ] = u ,[ U
∙ K(x ←x ) ] ∙ Y(x ) = u - U ∙ Y*(x ←x ) ,Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x
:U
∙ Y(x ) = u ,где U
= [ U ∙ K(x ←x ) ] и u = u - U ∙ Y*(x ←x ) .Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U
∙ Y(x ) = u .И так далее.
И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x
) в рассматриваемой точке x : 
∙ Y(x ) = 
.5 Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Этот вариант метода еще не обсчитан на компьютерах.
Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:
Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ,
Y(1) = K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) .
Подставим эти формулы в краевые условия и получим:
U∙Y(0) = u,
U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .
и
V∙Y(1) = v,
V∙[ K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) ] = v,
[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .
То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,
[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .
Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x) в любой рассматриваемой точке x:
∙ Y(x) = 
.В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.
Используем свойство перемножаемости матриц Коши:
K(x
←x) = K(x 
←x 
) ∙ K(x ←x 
) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x)и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде: