Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач (стр. 4 из 9)
K(0←x) = K(0←x
) ∙ K(x ←x 
) ∙ K(x 
←x),K(1←x) = K(1←x
) ∙ K(x ←x 
) ∙ K(x ←x 
) ∙ K(x ←x),Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:
[ U∙ K(0←x
) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,[ V∙ K(1←x
) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x)или в виде:
[ U∙ K(0←x
) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u* ,[ V∙ K(1←x
) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = v* .Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:
[ U∙ K(0←x
) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u* ,[ U∙ K(0←x
) ] ∙ { K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ∙ Y(x) } = u* ,[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ U∙ K(0←x
) ] 
∙ { K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ∙ Y(x) } = u* .Далее последовательно можно записать:
[[ U∙ K(0←x
) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ { K(x ←x) ∙ Y(x) } = u* ,[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[ U∙ K(0←x
) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ { K(x ←x) ∙ Y(x) } = u* 
,Далее аналогично можно записать:
[[[ U∙ K(0←x
) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ K(x ←x) ] ∙ { Y(x) } = u* ,[ матрица ] ∙ { вектор} = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[[ U∙ K(0←x
) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u* 
.Аналогично можно проортонормировать матричное уравнение краевых условий и для правого края независимо от левого края.
Далее проортонормированные уравнения краевых условий:
[ U∙ K(0←x) ]
∙ Y(x) = u* ,[ V∙ K(1←x) ]
∙ Y(x) = v* как и ранее объединяются в одну обычную систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения искомого вектора Y(x) :
∙ Y(x) = 
.6 Метод дополнительных краевых условий
Этот метод еще не обсчитан на компьютерах.
Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:
M ∙ Y(0) = m .
В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы М можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:
∙ Y(0) = 
,то есть вектор Y(0) находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.