Вычислительная математика (стр. 18 из 20)
Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет R =
| y(ti) – yi| = 0.0042.Пример 6.3.
Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши
y' (t) = y –
, y(0) = 1,рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда n =
= 5.В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:
yi+1 = yi +
[f(ti, yi) + f(ti+1, 
)] = yi + 0.1[f(ti, yi) + f(ti+1, )],где
f(ti, yi) = yi –
= yi + h f(ti, yi) = yi + 0.1
t0 = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.
Решение представим в виде таблицы 6.4:
Таблица 6.4
| i | ti | yi | f(ti, yi) | ti+1 | | f(ti+1, |
| 0 1 2 3 4 5 | 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1 1.1867 1.3484 1.4938 1.6272 1.7542 | 0.1 0.0850 0.0755 0.0690 0.0645 | 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1.2 1.3566 1.4993 1.6180 1.7569 | 0.867 0.767 0.699 0.651 0.618 |
Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.
Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R =
| y(ti) – yi| = 0.0222.6.4 Метод Рунге – Кутта
Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения
y' (t) = f(t, y(t))
с начальным условием y(t0 ) = y0.
Как и в методе Эйлера, выберем шаг h =
и построим сетку с системой узлов ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке ti.
Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
yi+1 = yi +
h(k 
+ 2k 
+ 2k 
+ k 
),k = f(ti, yi),
k = f(ti +
, yi + k ), (6.17)k = f(ti +
, yi + k ),k = f(ti +h, yi + hk ),
i = 0, 1, …, n.
Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид
R »
|y 
- y 
|. (6.18)Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y 
, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:
R »
|y - y | < e. (6.19)Приближенным решением будут значения y , i = 0, 1, …, n.
Пример 6.4.
Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.
y' (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)
Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n =
= 10.В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:
yi+1 = yi +
h(k + 2k 
+ 2k 
+ k 
),k = 2tiyi,
k = 2(ti +
)(yi + k ), (6.21)k = 2(ti +
)(yi + k ),k = 2(ti +h)(yi + hk ),
i = 0, 1, …, 10.
Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e 
, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями ei = | y(ti) – yi|.
Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения yi и их погрешности ei представлены в таблице 6.5: