Вычислительная математика (стр. 7 из 20)

Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.14) второе уравнение, умноженное соответственно на m

и m

, приходим к системе:

2.0x₁ + 1.0x₂ – 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

–1.15x₂ + 1.015x₃ + 5.05x₄ = – 4.305 (3.15)

4.28478x₃– 7.38261x₄ = 20.23696

2.28522x₃ – 2.81739x₄ = 9.67305

3-ий шаг. Вычислим множитель:

m

=

= = 0.53333.

Вычитая из четвертого уравнения системы (3.15) третье, умноженное на m

, приведем систему к треугольному виду:

2.0x₁ + 1.0x₂ – 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

–1.15x₂ + 1.015x₃ + 5.05x₄ = – 4.305 (3.16)

4.28478x₃– 7.38261x₄ = 20.23696

1.11998x₄ = –1.11998

Обратный ход. Обратный ход полностью совпадает с обратным ходом примера 3.1. Решение системы имеет вид:

x₁ = 1.000, x₂ = 2.000, x₃ = 3.000, x₄ = – 1.000.

3.4 Вычисление определителя методом исключения Гаусса

Из курса линейной алгебры известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате метода исключений Гаусса система линейных уравнений (3.2) с квадратной матрицей A приводится к эквивалентной ей системе (3.8) с треугольной матрицей A_n. Поэтому

det A = (–1)^s det A_n,

где s – число перестановок строк, (s = 0, если использовался метод Гаусса по схеме единственного деления).Таким образом,

det A = (–1)^sa₁₁ a

a

…a

(3.17)

Итак, для вычисления определителя det A необходимо выполнить процедуру прямого хода в методе Гаусса для системы уравнений Ax = 0, затем найти произведение главных элементов, стоящих на диагонали треугольной матрицы и умножить это произведение на (–1)^s, где s – число перестановок строк.

Пример 3.3.

Вычислим определитель det A =

2.0 1.0 0.1 1.0

0.4 0.5 4.0 8.5

0.3 1.0 1.0 5.2

1.0 0.2 2.5 1.0

Данный определитель совпадает с определителем системы, рассмотренной в примере 3.1. Он равен произведению диагональных элементов треугольной матрицы (3.13):

det A = 2.0 × 0.30 × 16.425 × 1.12 = 11.0376.

Если же обратиться к примеру 3.2, то, учитывая, что была одна перестановка строк, т.е. s = 1, получим:

det A = (–1) × 2.0 × (–1.15) × 4.28478 × 1.11998 = 11.0375.

3.5 Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса

Обратной матрицей к матрице A называется матрица A^-1, для которой выполнено соотношение:

A A^-1 = E, (3.18)

где E – единичная матрица:

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

E = 0 0 1 … 0 . (3.19)

0 0 0 … 1

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A ¹ 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.

Пусть A – квадратная невырожденная матрица порядка n:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n

A = a₃₁ a₃₂ a₃₃ … a_3n

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

и A^-1 – ее обратная матрица:

x₁₁ x₁₂ x₁₃ … x_1n

x₂₁ x₂₂ x₂₃ … x_2n

A^-1 = x₃₁ x₃₂ x₃₃ … x_3n

x_n1x_n2x_n3 … x_nn

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n² уравнений с n² переменными x_ij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a₁₁x₁₁ + a₁₂ x₂₁ + a₁₃x₃₁ + … + a_1nx_n1 = 1

a₂₁x₁₁ + a₂₂ x₂₁ + a₂₃x₃₁ + … + a_2nx_n1 = 0

a₃₁x₁₁ + a₃₂ x₂₁ + a₃₃x₃₁ + … + a_3nx_n1 = 0 (3.20)

a_n1x₁₁ + a_n2 x₂₁ + a_n3x₃₁ + … + a_nnx_n1 = 0

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a₁₁x₁₂ + a₁₂ x₂₂ + a₁₃x₃₂ + … + a_1nx_n2 = 0

a₂₁x₁₂ + a₂₂ x₂₂ + a₂₃x₃₂ + … + a_2nx_n2 = 1

a₃₁x₁₂ + a₃₂ x₂₂ + a₃₃x₃₂ + … + a_3nx_n2 = 0 (3.21)

a_n1x₁₂ + a_n2 x₂₂ + a_n3x₃₂ + … + a_nnx_n2 = 0

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Пример 3.4.

Вычислим обратную матрицу A^-1 для матрицы

A = 1.8 –3.8 0.7 –3.7

0.7 2.1 –2.6 –2.8

7.3 8.1 1.7 –4.9

1.9 –4.3 –4.3 –4.7

По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

1.8 –3.8 0.7 –3.7

0 3.57778 –2.87222 –1.36111

0 0 17.73577 19.04992

0 0 0 5.40155

Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 , 0 , 1 , 0

0 0 0 1

Каждый раз будем получать столбцы матрицы A^-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A^-1:

–0.21121 –0.46003 0.16248 0.26956

–0.03533 0.16873 0.01573 –0.08920

0.23030 0.04607 –0.00944 –0.19885 .

–0.29316 –0.38837 0.06128 0.18513

3.6 Метод простой итерации Якоби

Метод Гаусса обладает довольно сложной вычислительной схемой. Кроме того, при вычислениях накапливается ошибка округления, что может привести к недостаточно точному результату. Рассмотрим метод простой итерации Якоби, свободный от этих недостатков, хотя требующий приведения исходной системы уравнений к специальному виду.

Для того, чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений

Ax = b (3.22)

с квадратной невырожденной матрицей A привести к виду

x = Bx + c, (3.23)

где B – квадратная невырожденная матрица с элементами b_ij, i, j = 1, 2, …, n, x – вектор-столбец неизвестных x_i, c – вектор-столбец с элементами c_i, i = 1, 2, …, n.