Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі (стр. 10 из 11)

Для приналежності конкретного об'єкту до класу, заданого у визначенні, коли видові відмінності сполучені диз'юнктивний, необхідне дотримання (наявність) родової властивості і хоча б однієї з видових відмінностей.

2.2. Виконання дії підведення під поняття.

Уміння застосовувати поняття є показником його засвоєння. На думку Н.О.Менчинської, якщо учень справді засвоїв поняття, то він уміє його і застосовувати.

Одним із провідних принципів педагогічної психології є принцип єдності знань і дій. Проте існують два роди знань: знання про предмети і явища навколишнього світу (а отже, і про поняття) і знання про дії, які з ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного ісучасного навчання математики є недостатня увага до знань другого роду.

Часто учні, які добре знають означення математичних понять, не вміють застосовувати їх до доведення теорем і розв'язування задач, зокрема прикладних. Тому дії, адекватні знанням, зокрема поняттям, мають стати не тільки засобом, а й предметом засвоєння.

З погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумові дії, як «підведення до поняття» («дія розпізнавання») та обернена їй дія — відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності об'єкта до поняття приходять до системи властивостей, які має цей об'єкт. Потрібна спеціальна система вправ на підведення об'єктів до поняття. Для встановлення факту належності об'єкта до певного поняття потрібно перевірити наявність у об'єкта сукупності необхідних і достатніх властивостей. Якщо виявиться, що об'єкт не має хоча б однієї з істотних властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не належить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а й теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, можуть бути покладені в основу означень.

Наприклад, для встановленні належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися означенням паралелограма і теоремою про його ознаку. Разом вони є еквівалентними системами необхідних і достатніх властивостей.

Перелік операцій, що входять до складу дії підведення до поняття у випадку, коли істотні властивості пов'язані сполучником «і» чи сполучником «або», можна задати у вигляді такого навчального алгоритму. Щоб визначити, чи належить х до поняття у,потрібно:

1) виокремити властивості у;

2) з'ясувати, якими сполучниками пов'язані ці властивості;

3) якщо: а) сполучником «і», то перевірити, чи має х всі властивості у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у; б) сполучником «або», то перевірити, чи має х хоча б одну властивість у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у.

Якщо означення поняття має змішану структуру, тобто містить сполучник «і» та сполучник «або», то в алгоритмі потрібні додаткові вказівки.

Наведемо приклад. У курсі геометрії 7 класу учні ознайомлюються з означенням медіани трикутника. Доцільно ще на етапі введення означення чітко виділити дві істотні властивості, які воно містить і які лише разом утворююгь необхідну і достатню властивість належності об'єкта допоняття «медіана»: 1) медіана — це відрізок; 2) цей відрізок з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Щоб встановити, чи є АВмедіаною трикутника АВС,потрібно: 1) пригадати означення медіани; 2) переконатися, що істотні властивості в ньому пов'язані сполучником «і»; 3) перевірити, чи має АОобидві властивості медіани.

2.3. Виконання дії виведення наслідків

Перелік операцій, що є складовими дії «відшукання наслідків», можна задати у вигляді такого навчального алгоритму: 1) назвати всі істотні властивості, які входять в означення поняття; 2) назвати інші істотні властивості, які вивчалися.

Наприклад, результати відшукання наслідків з поняття «рівнобедрений трикутник» можна сформулювати так. Якщо трикутник рівнобедрений, то: 1) дві сторони його рівні; 2) кути при основі рівні; 3) бісектриса кута при вершині є медіаною, проведеною до основи; 4) бісектриса кута при вершині є висотою, проведеною до основи; 5) пряма, що містить згадану бісектрису кута при вершині, є віссю симетрії цього трикутника.

З метою забезпечення передумов для формування умінь застосовувати поняття та їхні властивості до розв'язування задач і доведення теорем, доцільно після вивчення кожного з основних понять і відношень звести разом їхні істотні властивості, що містяться в означеннях і теоремах.

До таких понять слід віднести насамперед основні геометричні фігури та їхні властивості, відношення рівності, паралельності, перпендикулярності, основні види рівнянь, нерівностей, функцій. У міру вивчення курсу виникають нові можливості щодо доведення відношень рівності, паралельності й перпендикулярності відрізків, подібності фігур. Тому важливо сформулювати правила-орієнтири для доведення цих відношень.

Наприклад, щоб довести рівність двох відрізків, можна включити їх у трикутники і довести рівність цих трикутників або скористатися властивістю одного з рухів, або застосувати вектори, або довести, що ці відрізки є бічними сторонами рівнобедреного трикутника чи протилежними сторонами паралелограма (прямокутника, квадрата, ромба).

Основою застосування понять до розв'язування складніших задач і доведення теорем є прийом розумової діяльності, який дістав назву «аналіз через синтез», або переосмислення елементів задачі з погляду різних понять. У процесі застосування понять в учнів формується така важлива розумова дія, як конкретизація, оскільки використання знань у практичних ситуаціях пов'язане з переходом від абстрактного до конкретного. Дослідження педагогічної психології показують, що перехід від оперування абстрактними поняттями до конкретної практичної ситуації досить складний для школярів.

З цього приводу Л. С. Виготський писав, що шлях від абстрактного до конкретного виявляється тут не менш важким, ніж шлях сходження від конкретного до абстрактного. Багатьом учням складно одночасно виокремлювати абстрактні співвідношення в конкретних даних і абстрагуватися від наочного сприймання об'єктів. Для запобігання таким труднощам потрібно використовувати конкретні практичні ситуації ще в період формування абстрактних понять — розв'язувати задачі практичного змісту. Особливо корисними є практичні роботи на місцевості, екскурсії на сільськогосподарські та промислові підприємства.

2.4. Абстрактно-дедуктивний та конкретно-індуктивний методи навчання

Відомі конкретно-індуктивний і абстрактно-дедуктивний підходи до формування понять та їх означень. При першому з них учні спочатку спостерігають і аналізують конкретні об'єкти (числа, фігури, задачі та ін.), потім відокремлюють і перераховують їх істотні ознаки і, нарешті, синтезують поняття та формулюють його означення. Так, при формуванні понять «прості» і «складені» числа можна запропонувати учням розглянути такі множини чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ... 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24,

Учні визначають дільники чисел спочатку в першій множині, а потім у другій; виявляють спільні і відмінні властивості чисел обох рядів і означають поняття «просте число» і «складене число». При цьому слід звернути увагу на ті істотні ознаки, які узагальнюються і синтезуються в понятті.

Ці методи набули неабиякого поширення у навчанні математики. Вперше їх докладно проаналізував К.Ф.Лебединцев.

Суть абстрактно-дедуктивного методу навчання полягає в тому, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам наводить означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні приклади об’єктів, що належать до цих понять. Формулюється й доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу.

Конкретно-індуктивний метод навчання протилежний абстрактно-дедуктивному. За цього методу пояснення нового матеріалу починається з розгляду прикладів. Використовуючи приклади, учні мають можливість виявити істотні властивості поняття, що вводиться. Це допомагає самостійно чи за допомогою вчителя сформулювати означення поняття. Рисунок до теореми дає змогу учням виявити властивості зображеної фігури і самостійно чи за допомогою вчителя сформулювати теорему.

Наприклад, у 9 класі запроваджується поняття кута, вписаного в коло. За абстрактно-дедуктивного методу навчання вчитель відразу розпочинає з формулювання означення вписаного в коло кута й ілюструє його конкретними прикладами.

Означення. Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло (мал.1). Кут ВАС на малюнку вписано в коло. Його вершина А лежить на колі, а сторони перетинають коло в точках В і С.

За конкретно-індуктивного методу навчання вчитель пропонує учням рисунок на дошці(Мал.2), на якому зображено кілька різних кутів, пов’язаних з колом. Вписані кути на малюнку зображено одним кольором (тут – потовщеними лініями). Учням пропонується порівняти кути, виділені кольором, і назвати їхні істотні спільні властивості. Учні помічають, що вершини кутів лежать на колі, а сторони перетинають це коло. Вчитель пропонує учням сформулювати означення; звертає увагу на неістотні властивості вписаних кутів (величина, розміщення центра кола відносно сторін).

ВИСНОВКИ

Під час написання дипломної роботи було реалізовано та повністю виконано мету та завдання поставлені на початку дослідження даної проблеми.