Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 9 из 14)
(х + dх)2 +(в + dу)2+ (z + dz)2=R2,
будемо мати
2(хdх + уdу + zdz) + dx2 + dу2 + dz2 = 0.
ds2 = dx2 + dу2 + dz2. (2.2')
Отримана формула приводить до очевидного висновку про те, що в малому геометрія еліптичної площини збігається зі сферичною геометрією. Зокрема, формули (1.12) і (1.13) відповідно теорему косинусів і синусів, справедливі й в еліптичній геометрії. Формула 2.2' показує також, що руху еліптичної площини S2 представляються обертаннями й відбиттями Евклідова простору E3 навколо Начало координат. Зазначені рухи визначаються ортогональними матрицями. Так називаються матриці, у яких сума квадратів елементів кожного стовпця рівняється одиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців рівняється нулю. Тому що матриці, що відрізняються знаками, індуцірують те саме рух в еліптичній площині, то група рухів останньої зв'язана.
Площа трикутників в еліптичній геометрії
Нехай в еліптичній площині даний трикутник AВС, позначеної на мал. 8 номером I. Як відомо, на даній площині породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. Ці трикутники позначені на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя еліптична площина кінцева й має площу, рівну 2 
R2 , то площа частини площини, обмеженої вертикальними кутами А трикутника I, рівняється
Аналогічно, площа частин еліптичної площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутника AВС, рівні 2R2B, 2R2С. З іншого боку, сума всіх трьох знайдених площ становить площу всієї еліптичної площини з доданою подвоєною площею SАВСданого трикутника АВС. У результаті одержуємо
.Звідси випливає, що
SАВС = R2(A + B + C - 
). (2.3)
Ця формула показує, що площа трикутника пропорційна його дефекту. Можна довести, що в геометрії Лобачевского площа трикутника АВС визначається по формулі, аналогічної (2.3),
SАВС = k2( - A - B - C ),
де k — радіус кривизни.
Окружність
Окружністю називається геометричне місце крапок М(х, в, z), що відстоять від даної крапки А(х1,в1,z1) на дану відстань r. Крапка A називається центром окружності, r - її радіусом.
До поняття окружності можна прийти іншим шляхом, відправляючись від пучків прямих і відповідних крапок на прямих даного пучка. Ці допоміжні поняття тут уводяться так само, як у геометрії Лобачевского. Сукупність прямих, що перетинаються в даній крапці A, називається пучком прямих першого роду. Крапка А називається центром пучка. Пучком прямих другого роду називаються прямі площини, перпендикулярні даній прямій а. Неважко переконатися, що ці пучки двоїсті один одному. Справді, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональне перетинає всі прямі пучка й розглянута сукупність прямих є пучком прямих другого роду. Обернено, прямі пучка другого роду проходять через полюс осі пучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямих одночасно є пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежать відповідно на прямих тиn даного пучка прямих. Ці крапки М, N називаються відповідними, якщо відрізок МN утворить рівні однобічні кути із прямими т и n. Найпростіша крива тут визначається так само, як у планіметрії Лобачевского. Ця крива по визначенню є множиною крапок, що відповідають крапці М на прямій т даного пучка. Отримана в такий спосіб найпростіша крива одночасно є окружністю радіуса r із центром у крапці А и еквидистантой з висотою r' = 
R/2 — r. Можна встановити, що окружність ортогональне розсікає прямі свого пучка.
З (2.1) треба, що рівняння окружності із центром у крапці А(х1,в1,z1) і радіусом r < R/2 приводиться до виду:
. (2.4)Наявність подвійного знака пояснюється тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може мати значення різних знаків.
Помітимо, що множина крапок, віддалених від двох крапок A,В, складається із двох взаємно перпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямій, певної даними крапками. Одна із цих прямих ділить навпіл один відрізок АВ, а інша - додатковий. Звідси випливає існування однієї й тільки однієї окружності, описаної біля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що не належать прямій, визначають на еліптичній площині чотири трикутники. Таким чином, через три крапки А, В, З, що не лежать на одній прямій, можна провести чотири окружності, які на сферичній моделі визначаються наступними трійками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначають крапки, діаметрально протилежні відповідно до крапок А, В, С.
Розглянемо коротенько властивості пар окружностей в еліптичній площині. У сферичній геометрії дві окружності, як і в евклідовій площині, можуть не перетинатися один з одним, стосуватися або перетинатися у двох крапках. В еліптичній геометрії властивості пара окружностей більше різноманітні. Щоб переконатися в цьому, припустимо, що еліптична площина інтерпретована у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені. У цьому випадку, окружність еліптичної площини представляється на такій сфері у вигляді двох окружностей, що лежать у паралельні й рівновіддалених від центра сфери площинах. Обернено, дві окружності, отримані від перетинання сфери симетричними щодо її центра площинами, зображують в еліптичній геометрії одну окружність. Зроблені зауваження дозволяють скласти уявлення про нові випадки взаємних положень двох окружностей у порівнянні зі сферичною або евклідовою планіметрією.
2.3 Геометрія Лобачевского в системі Вейля
Про псевдоевклідові планіметрії
а) В евклідовій площині, як відомо, формула квадрата відстані між двома крапками М(х1, х2) і N(в1, в2) у декартовой, прямокутній системі координат представляється у вигляді
d(M,N)2=(y1 - x1)2+(y2 - x2)2. (3.1)
Кут
між векторами ОМ і ОN обчислюється зі співвідношення 
. (3.2)Перша формула по суті виражає теорему Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, рівними абсолютним величинам
і гіпотенузою МN. Друга ж формула представляє собою формулу косинуса різниці кутів, утворених відповідно ОМ і ON c координатним вектором 
.Тепер змінимо формули (3.1) і (3.2) і будемо визначати відстань між зазначеними двома крапками й величини даних кутів по формулах відповідно
d(M,N)=(y1 - x1)2 - (y2 - x2)2(3.3)
(3.4)Колишні пари крапок тепер будуть мати інші відстані» а колишні кути - інші величини. Це по суті нова своєрідна двомірна геометрія.
Щоб підкреслити наявність іншої метрики й не плутати нові відстані й величини кутів зі старими, умовимося називати координатну площину (x1, x2)формулами (3.3), (3.4) псевдоевклідовою площиною.
б) Для більшої аналогії з евклідовою геометрією доцільно ввести новий скалярний добуток векторів як добуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Ясно, що цей добуток векторів відрізняється від звичайного скалярного добутку тих же векторів, тому що довжини векторів (відстань між початкової його й кінцевої крапками) і косинус кута розуміється в змісті псевдоевклідової геометрії.
Не будемо далі перераховувати наслідків з формул (3.3), (3.4) і дамо аксіоматичне визначення псевдоевклідової геометрії. Робиться це в такий спосіб.
Замість аксіоми IV, 3 вейлевської аксіоматики, у якій говориться про те, що скалярний квадрат вектора ненегативний, уводиться інша аксіома IV, 3' про існування ненульових векторів першого, другого, і третього типів, скалярні квадрати яких відповідно позитивні, негативні й дорівнюють нулю.
Всі інші аксіоми Вейля зберігаються без зміни в псевдоевклідової геометрії. Звичайно, припускаємо, що аксіоми розмірності III відповідним чином погоджені. Якщо мова йде про площину, то в аксіомі III, 1 затверджується існування двох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 затверджується, що всякі три вектори лінійно залежні.
Сукупність крапок називається псевдоевклідовою площиною, якщо ці крапки і їхні впорядковані пари (вільні вектори) задовольняють аксіомам груп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, вектори псевдоевклідової площини задовольняютьаксіомам /--///- IV - 1, 2, 3' і утворять двомірний псевдоевклідовий векторний простір.
У псевдоевклідової геометрії афінна частина повністю збігається з афінної частиною евклідової геометрії. Але в метричних питаннях геометрії ці значно відрізняються друг від друга, метрика простору по суті визначається аксіомами скалярного добутку векторів і серед них важливу роль грає саме аксіома IV, 3'.