Решение задач по высшей математике (стр. 3 из 6)
Решение
Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:
.Задача 18
Вычислить предел
.Решение
Легко убедиться, что
и 
при 
.Поэтому
.Задача 19
Вычислить предел
Решение
Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим
.Задача 20
Найти предел
.Решение
.Задача 21
Продифференцировать функцию
.Решение
.
Задача 22
Вычислить при помощи дифференциала
.Решение
Пусть
. Тогда 
. Обозначим: 
; 
. Отсюда 
. Находим 
и 
. 
.Итак,
.Задача 23
Найти
.Решение
Подстановка в заданную функцию значения
приводит к неопределенности вида 
. Применив правило Лопиталя, получим: 
.Задача 24
Исследовать на экстремум функцию
.Решение
1. Находим область определения функции:
.2. Находим производную функции:
.3. Находим критические точки, решая уравнение
или 
. Критические точки 
, 
.4. Область определения функции разбиваем критическими точками
и 
на интервалы, в каждом из которых определяем знак 
, делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.  |  |  |  |  |  |
 | + | 0 | — | 0 | + |
 | Возрастает | Max | убывает | Min | Возрастает |
При переходе через критическую точку
производная 
меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум: 
.Аналогично устанавливаем, что
.Задача 25
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке 
.Решение
1. Находим критические точки заданной функции:
; 
; 
.2. Убеждаемся в том, что точка
принадлежит отрезку .3. Вычисляем:
; 
; 
.4. Сравниваем числа
; 
; 
и находим: 
; 
.Задача 26
Найти общее решение уравнения
.Решение
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде
, тогда 
. Подставляя 
и 
в исходное уравнение, получим 
или 
. (1)Задача 27
Исследовать функцию
.Решение
1. Функция определена и непрерывна на интервале
. Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.2. Функция нечетная, поскольку
. Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.3. Положив
, получим 
, т.е. кривая проходит через начало координат.4. Функция не периодична.
5. Находим первую производную
. Производная 
для всех 
. Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.6. Находим вторую производную
и приравниваем её к нулю: 
. Точка будет критической точкой. Точкой разбиваем область определения функции на интервалы 
и 
, являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.