Решение задач по высшей математике (стр. 4 из 6)

	—		+
	выпуклая		вогнутая

Поскольку при переходе через точку

производная меняет знак, то точка будет точкой перегиба искомой кривой.

7. Выясним наличие наклонных асимптот:

;

;

; .

Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:

и .

Задача 28

Найти частные производные функции

.

Решение

; ; .

Задача 29

Найти производную функции

в точке в направлении вектора .

Решение

; ; ; ; ; ; .

Задача 30

Даны функция

и точки и . Вычислить:

1) точное значение

функции в точке ;

2) приближенное значение

функции в точке , исходя из её значения в точке , заменив приращение при переходе от точки к точке дифференциалом ;

3) относительную погрешность, возникающую при замене

на .

Решение

По условию

, , , . Поэтому , . Находим точное значение функции в точке :

.

Находим приближенное значение

:

;

; .

Вычисляем относительную погрешность:

.

Задача 31

Найти экстремумы функции

.

Решение

Находим критические точки:

; ;

откуда

и - точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий

;

;

;

;

. Поэтому экстремума в точке функция не имеет.

, . Поэтому функция в точке имеет минимум: .

Задача 32

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:

.

Задача 33

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Принимая в подынтегральном выражении

, , получим , . Поэтому

.

Проверка.

.

Задача 34

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Сделав замену переменной

Получим

.

Задача 35

Вычислить

.

Решение

Полагаем

, ; тогда , .