Решение задач по высшей математике (стр. 5 из 6)
Интегрируя по частям, находим
.Задача 36
Вычислить
.Решение
Положим
. Подстановка значений 
и 
в уравнение дает 
и 
. Таким образом, 
.Задача 37
Найти
.Решение
По определению
.Задача 40
Найти общее решение уравнения
.Решение
Так как
,то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении
, получим уравнение 
или 
.Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим
, 
.Проинтегрировав последнее уравнение, найдем
или 
.Подставив
, общее решение исходного уравнения запишем в виде 
, а после преобразования 
.Задача 38
Найти область сходимости степенного ряда
.Решение
Составим ряд из абсолютных величин
,По признаку Даламбера имеем:
,следовательно
, 
, 
, и на интервале 
ряд сходится.Проверим его сходимость на концах интервала:
1) Пусть
. Тогда 
- знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:Задача 14
Вычислить
с точностью до 
.Решение
Разложив в ряд
и поделив почленно на 
, получим: 
.Выбираем функцию
такой, чтобы 
.Тогда
.Интегрируем и находим
или 
.Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение
, 
, 
; 
.Следовательно,
- общее решение заданного уравнения.Задача 42
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.Решение
Составим характеристическое уравнение
. Так как 
и 
, то общим решением будет 
.Частное решение неоднородного уравнения
подбирается в зависимости от вида функции 
.1. Пусть
, 
, представляет собой многочлен степени 
с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде: 
,где
- многочлен той же степени, что и многочлен 
, но с неизвестными коэффициентами, а 
- число корней характеристического уравнения, равных нулю.Задача 43
Найти общее решение уравнения
.Решение
Ищем общее решение в виде
, где 
- общее решение соответствующего однородного уравнения, 
- частное решение неоднородного уравнения. Так как 
- многочлен первой степени 
и один корень характеристического уравнения 
, то частное решение надо искать в виде 
.Подберем коэффициенты
и 
так, чтобы решение удовлетворяло данному уравнению
, 
, 
.Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим
Следовательно,
, а 
- искомое общее решение.2. Пусть
. Тогда частное решение неоднородного уравнения 
, где - число корней характеристического уравнения, равных 
.Задача 44
Найти общее решение уравнения
.Решение
Ищем решение в виде
. Решим однородное уравнение 
. Корни характеристического уравнения 
равны и 
. Следовательно, 
. Частное решение ищем в виде 
(так как 
, 
). Найдем 
, а 
. Подставляя 
, 
и в исходное уравнение, получим