Інтерполювання функцій (стр. 3 из 9)

.............

Залучивши визначення похідної, можна виявити певний зв'язок між кінцевими різницями і похідними. А саме, якщо враховувати, що

, то можна сказати, що при достатньо малих має місце наближена рівність тобто перші різниці характеризують першу похідну функції по значенням якої вони складені. Скориставшись цим, маємо для других різниць:

,

тобто

, і, взагалі, . (1. 2. 1)

Таким чином, на кінцеві різниці можна дивитись як на деякий аналог похідних. Звідси справедливість багатьох їх властивостей, однакових зі властивостями похідних.

Відмітимо лише найпростіші властивості кінцевих різниць:

1. кінцеві різниці сталої дорівнюють нулю;

2. сталий множник у функції можна виносити за знак кінцевої різниці;

3. кінцева різниця від суми двох функцій дорівнює сумі їх кінцевих різниць в одній і тій же точці.

Враховуючи роль, яку відіграють многочлени в теорії інтерполювання, подивимось, що представляють собою кінцеві різниці многочленна.

Так як многочлен в своїй канонічній формі є лінійна комбінація степеневих функцій, покладемо спочатку

. Використовуючи біноміальне розвинення п-ого степеня двочлена, отримаємо:

тобто перша кінцева різниця степеневої функції

є многочлен степеня п-1 зі старшим членом . Якщо взяти тепер кінцеву різницю від функції

, (1. 2. 2)

то в силу лінійних властивостей

, можна записати . Перший доданок в цій сумі, як з’ясовано, є многочлен (п-1)-го степеня, другий, аналогічно, - многочлен степеня п-2, і т. д. отже, перша кінцева різниця многочленна (1. 2. 2) в точці з короком є многочлен зі старшим членом , друга кінцева різниця – многочлен зі старшим членом , …, -та різниця – многочлен зі старшим членом .

При

отримуємо постійну різницю п-го порядку для многочлена (1. 2. 2), кінцеві різниці більш високих порядків дорівнюють нулю.

Тобто, головний висновок із попередніх роздумів: п-і кінцеві різниці многочленна п-ого степеня постійні, а (п+1)-ші і всі наступні рівні нулю.

Однак, більш важливим для розуміння суті поліноміального інтерполювання є твердження, обернене зробленому вище висновку. А саме, що якщо кінцеві різниці п-го порядку деякої функції

постійні в будь-якій точці при різних фіксованих кроках , то ця функція є многочлен степеня п.

Для функції

, заданої таблицею своїх значень у вузлах , де , кінцеві різниці різних порядків зручно поміщати в одну загальну таблицю з вузлами і значеннями функції. Цю загальну таблицю називають таблицею кінцевих різниць.

1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона

Нехай для функції

задані значення для рівновіддалених значень незалежної змінної: , де - крок інтерполяції. Необхідно підібрати поліном степені не вище п, який приймає в точках значення

(1. 2. 3)

Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що

. Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді

Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:

Наша задача заклечається у визначенні коефіцієнтів

полінома . Покладаючи у вираз (1. 2. 5), отримаємо .

Щоб знайти коефіцієнт

, складемо першу кінцеву різницю . Припускаючи в останньому виразі , отримаємо: ; звідки . Для визначення коефіцієнта складемо кінцеву різницю другого порядку . Покладаючи , отримаємо: ; звідки . Послідовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що , де .

Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів

у вираз (1. 2. 5) отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона

. (1. 2. 6)