Інтерполювання функцій (стр. 5 из 9)

Введемо допоміжну функцію

, (1.2.12)де і

- постійний коефіцієнт, котрий буде обрано нижче.

Функція

, очевидно, має п+1 корінь в точках . Підберемо тепер коефіцієнт таким чином, щоб мала (п+2)-ий корінь в будь-якій, але фіксованій точці відрізка , яка не співпадає з вузлами інтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти

.

Звідси, так як

, то

(1. 2. 13)

При цьому значення множника

функції має п+2 кореня на відрізку і буде обертатись в нуль на кінцях кожного з відрізків

. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків, переконуємось, що похідна має не менше п+1 кореня на відрізку .

Малюнок 1. Графік функції

Застосовуючи теорему Ролля до похідної

, ми переконаємося, що друга похідна перетворюється в нуль не менше п разів на відрізку .

Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до висновку, що на відрізку

похідна має хоча б один корінь, котрий позначимо через , тобто .

Із формули (1. 2. 11) так як

, маємо: . При , отримуємо: Звідси . (1. 2. 14)

Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:

, тобто

. (1. 2. 15)

Так як

довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так:

, (1. 2. 16)

де

залежить від і лежить всередині відрізка .

Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка

, в тому числі і для вузлів інтерполювання.

На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 17)

де

- деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17)

, отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 18)

де

- деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними.

Вважаючи, що

майже постійними для функції і достатньо малим, і враховуючи, що , наближено можна покласти:

.

В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний

.

При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз

.

1.3 Інтерполяційні формули Гауса

При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]).

В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням

і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці називаються центральними різницями, причому і т. д.

Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.

Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:

,

де

, ідля функції відомі її значення в цих вузлах , потрібно побудувати такий поліном степені не вище 2п, що . Із останньої умови випливає, що

(1. 3. 1)

для всіх відповідних значень і та k.

Будемо шукати поліном у вигляді:

Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:

Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів

такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо: