Інтерполювання функцій (стр. 4 из 9)

Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.) повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь поліному

не вище п, по-друге, і

Замітимо, що при

формула (1. 2. 6) перетворюється в ряд Тейлора для функції . Дійсно, Крім того, очевидно, . Звідси при формула (1. 2. 6) приймає вид поліному Тейлора: .

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну

за формулою ; тоді

підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:

, (1. 2. 7)

де

являє собою кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи із точки . Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.

Формулу (1. 2. 7) вигідно використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення

, де мале за абсолютною величиною.

Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання:

. При п=2 будемо мати формулу параболічного або квадратичного інтерполювання

.

Якщо дана необмежена таблиця значень

, то число в інтерполяційній формулі (1. 2. 7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число обирають так, щоб різниця була постійною із заданою точністю. За початкове значення можна приймати довільне табличне значення аргументу .

Якщо таблиця значень функції скінчена, то

- число обмежене, а саме: не може бути більше числа значень функції , зменшеного на одиницю.

Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.

1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона

Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу.

Нехай маємо систему значень функції

для рівновіддалених значень аргументу , де - крок інтерполяції. Побудуємо поліном наступного вигляду:

або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:

. (1. 2. 8)

Наша задача полягає у визначенні коефіцієнтів

таким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб

(1. 2. 9)

Покладемо

у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо мати: , отже .

Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку

.

Звідси, вважаючи

і враховуючи відношення (1. 2. 9) будемо мати:

. Отже .

Покладаючи

знаходимо: . І таким чином .

Характер закономірності коефіцієнтів

достатньо зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що

(1. 2. 10)

Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно

(1. 2. 11)

Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона.

Введемо більш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай

, тоді

і т. д.

Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:

.(1.2.12)

Це і є загальний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції

вважають, що .

Як перша, так и друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для знаходження значень функції

для значень аргументів , котрі лежать за межами таблиці. Якщо і близько до , то вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Якщо ж і близько до , то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).

Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова.

1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона

Для функції

ми побудували інтерполяційний поліном Ньютона , який приймає в точках задані значення . Виникає питання, наскільки близько побудований поліном наближається до функції в інших точках, тобто наскільки великий залишковий член . Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію додаткові обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни : , котра містить вузли інтерполювання, функція маєвсі похідні до (п+1)-го порядку включаючи.