Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 5 из 13)
Красивый пример можно получить следующим образом.
Нам хочется, чтобы функция
«развернула» плоскость прямых или разворачивала ее постоянно. Как следует из теоремы, соответствующую функцию следует искать среди функций, 3-яя производная которых терпит в какой-либо точке разрыв.Например, можно задаться следующим уравнением:
.Здесь
– функция Хэвисайда.Проинтегрируем это уравнение.
.Теперь уже гораздо проще подобрать необходимый пример.
Итак, рассмотрим поверхность.
Проверим, что в каждой точке выполняется равенство:
. 
Замечание 4. Строго говоря, мы тут допустили неточность. А именно:
. Т.е. производная тета-функции Хэвисайда – дельта-функция Дирака. Поэтому, 
.Однако, простое геометрическое рассуждение может убедить нас, что вторым слагаем можно пренебречь. Действительно, посмотрим на график функции:
Очевидно, что в нуле наклон касательной к графику функции равен нулю, а функция
равна нулю всюду, кроме, быть может, нуля, следовательно, вклад в значение производной эта функция не вносит. Таким образом, Наше выражение для производной вполне корректно. 
.Проверим условие коллинеарности векторов
и 
. 
Как мы видим, они коллинеарны в каждой точке.
Теперь нам надо отыскать три прямые, которые вместе не лежат в параллельных плоскостях.
Для этого найдем три значения направляющего вектора этих прямых.
, 
, 
Если эти три вектора некомпланарны, то отвечающие им прямые (для которых они являются направляющими векторами) не лежат в параллельных плоскостях, т.е. являются искомыми.
.Т.е. эти прямые действительно не лежат в параллельных плоскостях.
Ниже на рисунке изображен пример такой поверхности. Мы отчетливо видим, как на этой поверхности есть прямы, соответствующие данным векторам.
Более простой пример можно построить, убрав требование о том, что
неколлинеарен .Найдем вектор, который в каждой точке обладает свойством, обратным к данному.
Пусть
коллинеарен вектору 
при каждом значении параметра. Например: 
Пусть
.Решим уравнение, например, для координаты
. 
Сделаем замену:
. 
. 
.Подставим в
. 
. Т.е. 
имеет вид: 
Вычислим производные для проверки.
, 
.Теперь видно, что в каждой точке векторы
и коллинеарные, поэтому смешанное произведение будет заведомо равно нулю (другого и быть не могло, собственно).Теперь нам надо сделать так, чтобы нашлись 3 вектора
не лежащие в одной плоскости (при соответствующих значениях параметра).Т.е.
, 
, 
.И при этом:
.Поскольку сдвиг в пространстве всех этих трех векторов не повлияет на равенство (или не равенство) нулю смешанного произведения, то достаточно рассматривать векторы:
, 
, 
.А эти векторы, очевидно, лежат в одной плоскости. Так что добиться выполнения утверждения о коллинеарности векторов
и в каждой точке, при выполнении, которого поверхность не будет являться поверхностью Каталана – нельзя.Значит, стоит подумать о примере, который обеспечивает выполнение этого условия в одной точке, в которой, разумеется, мы должны «повернуть» плоскость образующих линейчатой поверхности.
Рассмотрим вектор:
Очевидно:
, 
Очевидно, что
в каждой точке (есть нулевой столбец). Также, за исключением точки, соответствующей параметру 
кручение вектора также равно нулю ( 
). Причем, в каждой точке промежутка: 
неколлинеарен (т.е. мы имеем право пользоваться формулой (*) для расчета кручения кривой на указанном промежутке).Действительно:
Если
: 
, 
. 
График ординаты имеет вид:
И мы видим, что он нигде кроме 1 в нуль не обращается (это видно и непосредственно из аналитического выражения).
Если
: 
, 
.