Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 8 из 13)

Рассмотрим случай, когда

(т.е. поверхность Каталана является косой линейчатой поверхностью).

Улучшений здесь не видно, особенно.

Рассмотрим один специальный случай:

Т.е.

Получим:

Теорема 3.3. О минимальных поверхностях Каталана.

Если имеет место разложение:

для поверхности Каталана

, то она является минимальной, если верно уравнение

Рассмотрим пример минимальной поверхности Каталана.

Это прямой архимедов геликоид. Т.е.

Имеет место разложение:

, т.е.

, получим

Действительно, прямой архимедов геликоид – минимальная поверхность Каталана.

Еще раз напомним, как он выглядит.

3.3 О коноидах

Выведем условие, при котором поверхность Каталана будет являться коноидом.

Т.е. задана поверхность Каталана

Определим, когда есть прямая, пересекающая все образующие данной поверхности.

Пусть есть кривая на этой поверхности:

Причем она не совпадает ни с одной из образующих, т.е.

Уравнение этой кривой в пространстве имеет вид:

Если в каждой точке кривизна равно нулю – то это связное множество точек, которое лежит на прямой.

Рассмотрим векторное произведение:

Как мы видим, это не очень удобная запись. Попробуем использовать соотношение:

Сгруппируем члены при векторах.

(18)

Умножим это равенство векторно на

справа.

А теперь умножим скалярно на

Так как мы рассматриваем поверхности Каталана, то

. В результате получим.

(19)

Дифференциальное уравнение (19) дает необходимое условие того, чтобы поверхность Каталана являлась коноидом.

Рассмотрим специальный простой случай, а именно, когда поверхность Каталана является цилиндром (

) в этом случае уравнение (19) примет вид:

. Т.е. вырождается. Это и понятно, поскольку мы делали неравносильные преобразования уравнения, а выводили следствия путем соответствующих преобразований.

И действительно:

Если имеется равенство:

, очевидно, что если его справа или слева умножить векторно на какой-то вектор, то оно сохраниться. Например:

Однако из этой записи вышеуказанное равенство не следует. Ибо если

, то это тождество… Аналогично со скалярным произведением… А если

то

, а мы как раз умножали скалярно на

. Отсюда и вырождение уравнения…

Очевидно, мы пока не получили достаточно удовлетворительного уравнения для характеризации коноидов среди линейчатых поверхностей. Воспользуемся тем фактом, что для прямой верно, что

, и обратно, если для кривой этой выполняется, – то она прямая. Это справедливо в силу того, что параметрическое уравнение прямой:

Итак

(20)

Рассмотрим снова два случая.

. Т.е. поверхность Каталана является цилиндром. В таком случае:

(21)

Т.е. если уравнение (21) в указанных в начале продолжениях имеет решение, то оно определяет параметрическое уравнение прямой, через которую проходят все образующие цилиндра.

Умножим уравнение справа на

векторно.

Откуда очевидно, что:

(22)

Рассмотрим уравнение (22) для какой-нибудь одной координаты. Пусть

Другими словами:

Возвращаясь к уравнению

и имея в виду:

, получим, что

, а значит,

Т.е. всякий цилиндр является коноидом, если существует такая функция

, что

при этом, общая прямая, через которую проходят все образующие цилиндра имеет вид:

Естественно – это целое семейство прямых.

Попробуем сразу воспользоваться найденным приемом для уравнения (21).

Это можно переписать так: